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根据以下两条简单的事实:
事实 1 有限非 Abel 群 $G$ 的中心 $C(G):=\{x\mid xg=gx,\forall g\in G\}$ 满足 $[G:C(G)]=\dfrac{|G|}{|C(G)|}\geq 4$. 实际上, $[G:C(G)]$ 不为质数.
证明 显然 $C(G)\lhd G$. 若 $G/C(G)$ 为质数阶, 则为循环群. 考虑陪集分解 $G=\cup_{i=1}^p h^i C(G)$, 其中 $h\notin C(G)$ 满足 $h^p=1$. 从而对任意 $h_1g_1,h_2g_2\in G$, 总有 $h_1g_1h_2g_2=(h_1h_2)(g_1g_2)=h_2g_2h_1g_1$, 故 $G$ 为交换群, 矛盾!
$\square$
事实 2 对任意 $x\in G$, 定义中心化子 $C_G(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}$. 则 $x\notin C(G)$ 时, $[G:C_G(x)]\geq 2$.
证明 由于 $x\notin C(G)$, 故子群 $C_G(x)\neq G$, 从而 $[G:C_G(x)]\geq 2$.
$\square$
下计数 $G\times G$ 中满足 $xy=yx$ 的对 $(x,y)$, 分类讨论 $x\in C(G)$ 与否即可. 从而对的数量满足
$$
\begin{align*}
&\,|C(G)|\cdot |G|+\sum_{g\in G\setminus C(G)}|C_G(x)|\\
\leq &\,|C(G)|\cdot |G|+(|G|-|C(G)|)\cdot \dfrac{|G|}{2}\\
\leq &\,\dfrac{5|G|^2}{8}.
\end{align*}
$$
取等时, $G/C(G)$ 一定为非循环的四阶群, 验证得此时非中心元的中心化子指标为 $2$.
$\square$
思考 $G/C(G)$ 为非循环 $6$ 阶群时, 不等式中系数为 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\cdot 6}=\dfrac{7}{12}$. 从而得到结论: 对有限群 $G$,
- $G$ 中的元素可交换概率为 $(5/8,1]$, 则为 Abel 群.
- $G$ 中的元素可交换概率为 $(7/12,5/8]$, 则 $G/C(G)\cong K_4$.
- 其他情况.
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