题干很简短 但是过程很曲折 给我导迷糊了

facebooker

已知$f(x)=\dfrac{\ln (1+x)}{x}, g(x)=f(x)+f(\frac{1}{x})$,求$g(x)$的最大值。

kuing

`f(x)=\ln(1+x)^{1/x}`，于是
\[f(x)+f\left( \frac1x \right)=\ln\left( (1+x)^{1/x}\left( 1+\frac1x \right)^x \right),\]
所以变成求 `(1+x)^{1/x}(1+1/x)^x` 的最大值。

根据这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=4465，有更强结论：
\[(1+x)^{1/x}+\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant4,\]
根此再由均值有
\[(1+x)^{1/x}\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant\frac14\left( (1+x)^{1/x}+\left( 1+\frac1x \right)^x \right)^2\leqslant4,\]
当 `x=1` 时取等，所以原题最大值就是 `\ln4`。

facebooker

kuing 发表于 2022-8-14 02:41
`f(x)=\ln(1+x)^{1/x}`，于是
\[f(x)+f\left( \frac1x \right)=\ln\left( (1+x)^{1/x}\left( 1+\frac1x \ri ...

原来如此 居然是一道以前研究过的题目 惭愧惭愧。