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汪林 - 实分析中的反例 旧版第47页
35. 仅在有理点间断的严格递增函数.
设$r_1,r_2,\dots,r_k,\dots$为数轴上全部有理点, 令
$$
f(x)=\sum_{r_k<x} \frac{1}{2^k},
$$这里, 按一切使$r_k<x$的那些足码$k$求和. 因为所给的级数总是收敛的, 所以这个函数对一切实数$x$都有意义. 又因为对任意两个实数$x_1,x_2,x_1<x_2$, 总存在有理数$r_{k_0}$使得$x_1<r_{k_0}<x_2$, 所以
$$
f\left(x_{2}\right) \geqslant f\left(x_{1}\right)+\frac{1}{2^{k_{0}}}>f\left(x_{1}\right) .
$$
因比, 函数 $f$ 在 $R^1$ 上是严格递增的.
我们先来证明, 这个函数在每个有理点$r$都是间断的. 事实上, 对任一$x>r$, 有
$$
f(x)=\sum_{r_k<x} \frac1{2^k}=\sum_{r_k<r}\frac1{2^k}+\sum_{r≤r_k<x} \frac{1}{2^k}
$$
假定有理点 $r$ 的足码为 $n$, 那么$$\sum_{r\le r_k<r}\frac1{2^k}>\frac1{2^n}$$
因此$$f(x)>\sum_{r_k<r} \frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{n}}=f(r)+\frac{1}{2^n}$$
在这个不等式中, 令 $x\to r+$ 而取极限, 就得到
$$
f(r+) \geqslant f(r)+\frac{1}{2^n}
$$由此可见, 函数 $f$ 在每个有理点 $r_n$ 都是右间断的, 而且它的右方跃度 $f\left(r_n+\right)-f\left(r_n\right) \geqslant \frac{1}{2^n}$, 因而 $f$ 在点 $r_n$ 处间断.
我们再来证明, 函数 $f$ 在其它点都是连续的, 且在有理点 $r_n$ 处的跃度等于 $\frac{1}{2^n}$. 这个结论可以从下面的考虑得出：对于单调函数而言, 它的上界和下界之差大于或等于一切跃度之和, 而
$$
\sup _kf(x)=\sum_{k} \frac{1}{2^{k}}=1, \inf _{k} f(x)=0,
$$
所以一切跃度之和$S$满足不等式
$$
S \leqslant 1 .
$$另一方面，一切跃度之和大于或等于诸点$r_n$处的右方跃度之和，所以
$$
S \geqslant \sum_n \frac{1}{2^n}=1
$$因而在诸点$r_n$处的右方跃度之和等于函数的全部可能跃度。中此可知，函数$f$在其它各点均连续，且在点$r_n$处的跃度拾好等于$1\over2^n$.
由例35的构造法可知，对于任意给定的$R^1$中的可数集$A$, 都可以作出$R^1$上的一个严格递增函数$f$, 使$f$在$A$上无处连续而在$R\setminus A$上处处连续。Hardy[87]构造了一个在每个正无理点连续而在其它各点均间断的函数如下：$$H(x)=\left\{\begin{array}{l}\left(\frac{1+p^2}{1+q^2}\right)^{\frac12}, & x=p / q, p, q为互质的整数且q>0, \\ x, & x 为无理数。\end{array}\right.$$Bhakta[45]研究了下列函数的性质：对$α>0,0≤x≤1$，令$$f_{\alpha}(x)=\left\{\begin{array}{l}0&, x=0或x为无理点 \\ q^{-α}&, x=p/ q,\ p,q为互质的整数且q>0.\end{array}\right.$$他指出，$f_α$在[0,1]的每个非零有理点都间断，而在[0,1]的其它点处都连续。又当$0<α<1$时，$f_α$在[0,1]上无处可微；当$1<α≤2$时，$f_α$在$x=0$处可微；而当$α>2$时，$f_α$在[0,1]上几乎处处可微。
Kristensen[100]于1968年构造了一个定义在实直线上的函数，它在每一有理点间断，而在每一代数数的无理点处可微。他还进一步证明了定义在实直线上的每个在有理点间断的函数，一定存在不可微的无理点所成的稠密子集， |
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