一组线性无关向量的接长向量必定线性无关的思考

PIG

原命题1：设$a_1,a_2,a_3,…,a_m$是m个线性无关的k维向量，又$A_1,A_2,A_3,…,A_m$分别是$a_1,a_2,a_3,…,a_m$的$k+l$维接长向量，则$A_1,A_2,A_3,…,A_m$必线性无关。
        证：设存在n个数$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$使得
$$\lambda_1A_1+\lambda_2A_2+···\lambda_mA_m=\vec0……(1)$$
又设$a_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik})$,i=1,2,...,m;
        $A_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik},a_{i,k+1},...,a_{k+l})$,i=1,2,...,m.
        带入(1)式得
$$\sum_{j=1}^m\lambda_j(a_{j1},a_{j2},...,a_{jk},a_{j,k+1},...,a_{j,k+l})=\vec0$$
即$A_i$的每个分量和都为0，故可得
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j1}=0$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j2}=0$$
$$...$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{jk}=0$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j,k+1}=0$$
$$...$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j,k+l}=0$$
        以上等式，前k个等式即表明
$$\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+...+\lambda_ma_m=\vec0......(2)$$
        由题设，$a_1,a_2,...,a_m$线性无关，因此，要使式(2)成立，有$\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_m=0.$就证明了$A_1,A_2,...,A_m$线性无关.
        接下来，考虑另一个命题，设$A_1,A_2,A_3,…,A_m$是m个线性无关的$k+l$维向量，$a_1,a_2,a_3,…,a_m$是m个k维向量，则$a_1,a_2,a_3,…,a_m$线性无关.
        显然，这个命题不成立.因为根据题设，即
$$\lambda_1A_1+\lambda_2A_2+···\lambda_mA_m=\vec0$$
        故$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$全部为0
        对下述式子
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j1}=0$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j2}=0$$
$$...$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{jk}=0$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j,k+1}=0$$
$$...$$
$$\sum_{j=1}^m\lambda_ja_{j,k+l}=0$$
        系数全为0，显然没有意义，故该命题不成立

hbghlyj

又设$a_i=(a_i1,a_i2,...,a_ik)$

应该是$a_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik})$

$A_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik},a_{i,k+1},...,a_{k+l})$

应该是$A_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik},a_{i,k+1},...,a_{i,k+l})$

$$\sum_{j=1}^m\lambda_j(a_{j1},a_{j2},...,a_{jk},a_{j,k+1},...,a_{j,k+l}=\vec0$$

缺少右括号

$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$故全部为0

应该是$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$

        系数全为0，显然没有意义，故该命题不成立

这里写得不清楚

player1703

$$A = [a_1, a_2,\dots,a_m]$$
$$\tilde{A} = [A_1, A_2,\dots,A_m] $$
$A$ 为 $\tilde{A}$的子矩阵所以$R(\tilde{A}) \geqslant R(A) = m$.

逆命题显然不成立 $e_1, e_2, \dots, e_m$ 线性无关但去掉最后一个维度$e_m$变成0向量了从而线性相关

PIG

hbghlyj 发表于 2022-9-7 03:22
应该是$a_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik})$

应该是$A_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik},a_{i,k+1},...,a_{i,k+l ...

修改了一下，谢谢指正，我再想想

PIG

player1703 发表于 2022-9-7 17:53
$$A = [a_1, a_2,\dots,a_m]$$
$$\tilde{A} = [A_1, A_2,\dots,A_m] $$
$A$ 为 $\tilde{A}$的子矩阵所以$R ...

懂了，醍醐灌顶

PIG

hbghlyj 发表于 2022-9-7 03:22
应该是$a_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik})$

应该是$A_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{ik},a_{i,k+1},...,a_{i,k+l ...

其实可以把方程左边的系数矩阵经初等变换化为1的单位矩阵，各列向量一定线性无关，然后去掉最后一个维度也就是最后一行，最右边那个列向量就变成零向量了，故此时各列向量线性相关