a+b+c=9,ab+bc+ca=24,求b的取值范围.

realnumber

实数a,b,c,满足如下条件$a+b+c=9,ab+bc+ca=24$,求b的取值范围.
blog.sina.com.cn/s/blog_68ef13230101esqq.html

realnumber

1楼连接中区分巧合还是必然，读着感觉很好.

a,b,c看作3次方程$(x-a)(x-b)(x-c)=0$的三个根，即得$x^3-9x^2+24x-abc=0$
记$f(x)=x^3-9x^2+24x$,如图，可得要使得方程有3个实数根，则$f(4)=16\le f(x)\le f(2)=20$,
而当$x^3-9x^2+24x=16或20$，分别解得最小最大的根是1,5,即$1\le a,b,c\le 5$

其妙

这里就不用判别式法了
（还可以利用韦达定理构造二次方程来做，例如这里：blog.sina.com.cn/s/blog_64e168d30101r9bw.html）
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=81-48=33$，
于是，$33=a^2+b^2+c^2\geqslant\dfrac{(a+c)^2}2+b^2=\dfrac{(9-b)^2}2+b^2$，
即$(9-b)^2+2b^2-66\leqslant0$，
整理得，$b^2-6b-5\leqslant0$，于是$1\leqslant b\leqslant5$.
同理，$1\leqslant a\leqslant5$，$1\leqslant c\leqslant5$。