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math.stackexchange.com/a/943212/87896
您可以通过求 微分算子 的矩阵表示 的逆矩阵 进行 积分，以 巧妙地 选择 基，然后将 算子的逆 应用于 希望积分的函数。
例如, 考虑 基 $\mathcal{B} = \{e^{ax}\cos bx, e^{ax}\sin bx \}$. 关于 $x$ 微分,
\begin{align*}
\frac{d}{dx}e^{ax} \cos bx &= ae^{ax} \cos bx - be^{ax} \sin bx\\
\frac{d}{dx} e^{ax} \sin bx &= ae^{ax} \sin bx + be^{ax} \cos bx
\end{align*}
微分算子 的矩阵表示 为
$$T = \begin{bmatrix}
a & b\\
-b & a
\end{bmatrix}$$
为了求出$\int e^{ax}\cos bx\operatorname{d}\!x$,这等价于求
$$T^{-1}\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}_{\mathcal{B}} = \frac{1}{a^{2} + b^{2}}\begin{bmatrix}
a\\
b
\end{bmatrix}_{\mathcal{B}}.$$即$$\int e^{ax}\cos bx\operatorname{d}\!x = \frac{a}{a^{2}+b^{2}}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a^{2} + b^{2}}e^{ax}\sin bx$$ |
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