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考题述评第4页
走筆至此, 不由得想到七十三年大專聯考, 在自然組的試題中有一題要考生證明實係數行列式
\[
\left|\begin{array}{rrrr}
0 & a & b & c \\
-a & 0 & d & e \\
-b & -d & 0 & f \\
-c & -e & -f & 0
\end{array}\right| \geq 0
\]
這一題原本是一個反對稱的方陣 $A$ 的行列式問題, 如果方陣的階是奇數很容易看出它的行列是 $O$ 。當階是偶數的時候, 行列式總是非負, 它的證明在線性代數中來看並不困難, 想法是把方陣 $A$ 先乘上 $i$, 則 $i A$ 是 Hermitian, 所以 $i A$ 的固有值全是實數, 因而 $A$ 的固有值就全是純虛數, 並且由於 $A$ 是實方陣, 這些純虛的固有值和它的共軛會同時出現, 因時 $A$ 的行列式非負。
把這樣一個具普遍性的問題在階數爲四的時候硬要高中生把行列式展開來寫成完全平方 (如下), 其實意義不大, 充其量只是個因式分解的技巧。\begin{aligned}
\text { 原式 } &=a\left|\begin{array}{rrr}
a & b & c \\
-d & 0 & f \\
-e & -f & 0
\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{rrr}
a & b & c \\
0 & d & e \\
-e & -f & 0
\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{rrr}
a & b & c \\
0 & d & e \\
-d & 0 & f
\end{array}\right| \\
&=a\left(-b e f+c d f+a f^2\right)-b\left(-b e^2+c d e+a e f\right)+c\left(a d f-b d e+c d^2\right) \\
&=a^2 f^2+2 a c d f+c^2 d^2+b^2 e^2-2 a b e f-2 b c d e \\
&=(a f+c d-b e)^2
\end{aligned} |
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