托勒密定理

Czhang271828

$$
{\det\begin{pmatrix}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{pmatrix}\cdot
\det\begin{pmatrix}
a_3&a_4\\
b_3&b_4
\end{pmatrix}
+
\det\begin{pmatrix}
a_1&a_4\\
b_1&b_4
\end{pmatrix}\cdot
\det\begin{pmatrix}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{pmatrix}
=
\det\begin{pmatrix}
a_1&a_3\\
b_1&b_3
\end{pmatrix}\cdot
\det\begin{pmatrix}
a_2&a_4\\
b_2&b_4
\end{pmatrix}}.
$$

Czhang271828

相似的问题: 数列 $\{x_n\}_{n\geq 0}$ 满足
(1) $x_0=x_1=x_2=x_3=1$;
(2) $x_nx_{n+4}=x_{n+1}x_{n+3}+x_{n+2}^2$.
求证, $1,1,1,1,2,3,7,23,59,314,1529,8209,83313,620297,7869898,\ldots$ 为整数数列

Czhang271828

$$
\boxed{\begin{matrix}
0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0\\
&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1\\
1&&2&&2&&3&&1&&2&&4&&1&&2&&2&&3&&1\\
&1&&3&&5&&2&&1&&7&&3&&1&&3&&5&&2&\\
2&&1&&7&&3&&1&&3&&5&&2&&1&&7&&3&&1\\
&1&&2&&4&&1&&2&&2&&3&&1&&2&&4&&1\\
1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1\\
&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0\\
\end{matrix}}
$$
上述整数数组依照周期对称性向左右两侧延申(此处省略), 且满足
$$
\forall \quad \boxed{\begin{matrix}
&b&\\
a&&d\\
&c&
\end{matrix}}\,\,,\det \begin{pmatrix} a&b\\
c&d\end{pmatrix}=1.
$$
若限定第一行全为 $0$, 第二行全为 $1$. 容易发现, 每个符合上述性质的 $n+1$ 行数组的第三行的循环节依次对应正 $n$-边形三角化后每个顶点处的三角形数.

现规定 $p_{1,1}=1$(第二行中任一一者), $p_{i,j+1}$ 在 $p_{i,j}$ 的右上方, $p_{i+1,j}$ 在 $p_{i,j}$ 的左下方. 方便起见, 限定 $1\leq i\leq j\leq n$, 则有托勒密定理
$$
p_{i,j}p_{k,l}+p_{i,l}p_{j,k}=p_{i,k}p_{j,l}\quad (i\leq j\leq k\leq l).
$$

hbghlyj

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业余的业余

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