是否存在有理函数在$\Bbb R$有定义,且值域为$\Bbb R^+$

hbghlyj

是否存在有理函数在$\Bbb R$有定义,且值域为$(0,+∞)$
如$2^x$在$\Bbb R$有定义,且值域为$\Bbb R^+$,但不是有理函数
如$\frac1{x^2}$的值域是$\Bbb R^+$,但是在0处没有定义.
如$\frac1{x^2+1}$在$\Bbb R$有定义,但值域是$(0,1]$.

Czhang271828

感觉不是吧. 可以先复化, 那么有理函数就是 $S:=\mathbb C\cup \{\infty\}$ 到自身的全纯映射. 考虑到对称性, 有理函数限制在截面 $\mathbb R\cup\{\infty\}$ 上是连续变换.

如果有理函数 $r:\mathbb R\to (0,+\infty)$, 那么 $r:\mathbb R\cup\{\infty\}\to (0,+\infty)\cup r(\infty)$. $\mathbb R\cup\{\infty\}$ 同伦于圆环, 从而其有限覆叠的连续变换不可能是 $[0,\infty)$, $(0,\infty)$, $(0,\infty]$, 或者 $(0,\infty)\cup \{p\}$ ($p<0$).

$\forall r(x)\in \mathbb R(x)$ (有理函数域), $r(\mathbb R)$ 一定是 $\mathbb R\cup\{\infty\}$, $\mathbb R\cup\{\infty\}$ 挖去一点, $\mathbb R\cup\{\infty\}$ 中闭区间挖去一点中的一者.

hbghlyj

$n$元有理函数,在$\Bbb R^n$有定义,值域的一般形式为?

hbghlyj

设有理函数$f(x)=P(x)/Q(x)$在$\Bbb R$有定义,且值域为$(0,+∞)$.
若$\deg P(x)>\deg Q(x)$,则$f(x)$当$x→±∞$时极限为$∞$,对$f(x)$用[1]得$f(x)$有下界,矛盾
若$\deg P(x)<\deg Q(x)$,则$\frac1{f(x)}$当$x→±∞$时极限为$∞$,对$\frac1{f(x)}$用[1]得$f(x)$有上界,矛盾
若$\deg P(x)=\deg Q(x)$,把$f(x)$减去一个常数化为$\deg P(x)<\deg Q(x)$情况.

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[1] 连续函数f(x)当x→±∞时极限为∞,则f(x)有下界

Czhang271828

$\mathbb R\cup\{\infty\}$ 的拓扑按圆周来看. $(-\infty, a]\cup [b,\infty) \cup \{\infty\}$ 是个闭区间, 挖去的点是 $\infty$.