幂级数导数边界上收敛范围有可能扩大吗

hbghlyj

根据Cauchy-Hadamard formula,幂级数的导数和原级数的收敛半径相同, 但是在边界上可能发生3种情况:
• 收敛范围不变: $\sum_{n=1}^∞ x^n$收敛范围$(-1,1)$, 导数$\sum_{n=1}^∞ nx^{n-1}$收敛范围还是$(-1,1)$.
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n \log n}$收敛范围$[-1,1)$, 导数$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{\log n}$收敛范围还是$[-1,1)$
• 收敛范围缩小: $\sum_{n=1}^∞ \frac{x^n}n$收敛范围$[-1,1)$, 导数$\sum_{n=1}^∞ x^{n-1}$收敛范围缩小为$(-1,1)$.
• 收敛范围扩大: 有没有可能呢?

abababa

这应该不行吧，比如$f(x)$的定义域是$(-1,0]$，也就是在$-1$处无定义，那求导时，$f'(-1)=\lim_{h\to0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$，那个公式里的$f(-1)$就没有定义，所以导数的定义域不能大于原函数的定义域吧。

hbghlyj

我有一个问题：是否有可能 $\sum a_nx^n$ 的收敛范围小于 $\sum na_nx^{n-1}$ 的收敛范围?

Theorem 5.2.
$\ldots$
$\ldots$
Finally, it follows from (5.1) and Lemma 5.1 that the radius of convergence of the power series for $f'$ is at most $R_1$. Since $R_1 < R$ was arbitary, the radius of convergence of this power series is at most $R$, as claimed.

我们已经证明它们具有相同的收敛半径，但是是否可能存在 $f'$ 收敛但 $f$ 不收敛的边界点

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-5-17 06:02
我有一个问题：是否有可能 $\sum a_nx^n$ 的收敛范围小于 $\sum na_nx^{n-1}$ 的收敛范围?

我们已经证明它 ...

若级数 $\sum na_nx^n$ 收敛, 则根据 A-D 判别法可知
\[
\sum (na_nx^n)\cdot \dfrac{1}{n}=\sum a_nx^n
\]
收敛.