求三元分式的最小值

lemondian

已知$a,b,c$为正实数，且$abc=1$，$k$是正常数，求$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{k}{a+b+c}$的最小值。

色k

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lemondian

色k 发表于 2022-6-16 19:49
https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8283

哦，原来我还问过差不多的题。
可是不太明白。
是$k$要分类讨论么？

kuing

lemondian 发表于 2022-6-16 20:48
哦，原来我还问过差不多的题。
可是不太明白。
是$k$要分类讨论么？

根据帖里的结论，肯定要分的呗。

设 `y` 是方程 `16y^3 + 567y^2 - 3402y - 18225=0` 的正根，则当 `k\leqslant y` 时原式的最小值就是 `3+k/3`。

但 `k>y` 时就没那么简单了，我在初版（5d6d 时期）悠闲论坛里曾经提出过猜想，该情况下原式的最小值是
\[\sqrt[3]{\frac{27}{32}\bigl(k^2+20k-8-\sqrt{k(k-8)^3}\bigr)},\]
证明暂时未有。

lemondian

kuing 发表于 2022-6-17 02:44
根据帖里的结论，肯定要分的呗。

设 `y` 是方程 `16y^3 + 567y^2 - 3402y - 18225=0` 的正根，则当 `k\l ...

这么难么？
期待你的证明@kuing

lemondian

往下如何操作？

lemondian

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lemondian

请教一个问题：
已知$a,b,c$为正实数，且$abc=1$，$k$是正常数，若$f(a,b,c)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{k}{a+b+c}$，则$f(a,b,c)\geqslant f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$恒成立吗？
或者是正数$k$要满足什么条件才成立？