圆锥曲线的一个小结论

Ly-lie

给定圆锥曲线及其内部一定点$ P $,过$ P $作两条互相垂直的弦$ AB,CD $.
证明：$ P $关于四边形$ ACBD $的等角共轭点$ Q $也是定点.

Ly-lie

可以证明$ ACBD $与某条固定的圆锥曲线$ E $相切,但$ P $为焦点该如何说明呢

hbghlyj

Ly-lie 发表于 2022-11-20 03:07
可以证明$ ACBD $与某条固定的圆锥曲线$ E $相切,但$ P $为焦点该如何说明呢 ...

延长AD, BE交于E，因为P,Q关于三角形ACE是等角共轭点，所以存在圆锥曲线以P,Q为焦点且与它的三边相切。

Ly-lie

hbghlyj 发表于 2022-11-20 11:21
延长AD, BE交于E，因为P,Q关于三角形ACE是等角共轭点，所以存在圆锥曲线以P,Q为焦点且与它的三边相切。 ...

如果没有垂直条件，改写为$P$存在等角共轭点，那么$Q$将是运动的，这是因为Poncelet闭合定理的逆定理不成立。

hbghlyj

因为$ \angle APD=\pi -\angle BPC  $, 所以$P$存在等角共轭点, 所以存在以$P,Q$为焦点的四边形$ABCD$的内切锥线$\Gamma$.
由Poncelet闭合定理, 当$AB,CD$移动时, $\Gamma$不变, 所以$Q$是定点.
是这样证明的吗

hbghlyj

由Poncelet闭合定理, 当$AB,CD$移动时, $\Gamma$不变

由Poncelet闭合定理, 当$AB,CD$移动到$A'B',C'D'$时, $\Gamma$仍然内切于$A'B'C'D'$, 但是如何证明$A'C'$与$B'D'$的交点仍然是$P$呢

hbghlyj

$P$为定点, $A,B$为圆锥曲线上的动点, $\angle APB=90^\circ$, $D$为$AB$的极点.
点$E$在$AB$上, $\angle BPD=\angle APE$, 则$E$的轨迹是圆锥曲线, 且与$AB$相切.
[圆的情况,见圆的一条动弦对一个固定点M张成直角，弦的中点的轨迹为圆]
[$P$在圆锥曲线上的情况是Frégier's Theorem]

Ly-lie

hbghlyj 发表于 2022-11-20 23:35
$P$为定点, $A,B$为圆锥曲线上的动点, $\angle APB=90^\circ$, $D$为$AB$的极点.
点$E$在$AB$上, $\angle B ...

我明白了，所以这个定理怎么证明呢