由特征方程构造线性递推

hbghlyj

不需要解出 $a_k$
序列 $(x_n)$ 是序列 $(1), (n), (n^2), \cdots, (n^9)$ 的线性组合$$x_n=\sum_{k=0}^{9}a_k n^k\qquad;n=1, 2,\cdots, 10$$
对于给定的 $a_k;k=1,2,\cdots,10$ 有 $x_n=e^n;n=1, 2,\cdots, 10$。求 $\left\lfloor x_{11}\right\rfloor$ 的值

🔎Brilliant社区用户的解法

首先要找一个线性递推使序列$(1),(n),\cdots,(n^9)$都是它的解。所以1是10重特征根，于是$(x_n)$满足具有特征多项式 $(r-1)^{10}$的线性递推
$$x_n=\sum_{k=1}^{10}\binom{10}{k}(-1)^{11-k}x_{n-k} \quad\text{for all}\quad n\geq 11.$$
令$n=11$，我们得到$$x_{11}=\sum_{k=1}^{10}\binom{10}{k}(-1)^{11-k}x_{11-k }= \sum_{k=1}^{10}\binom{10}{k}(-1)^{11-k}e^{11-k}=e(e^{10}-(e- 1)^{10})\approx 59264.2700$$ 因此，$\left\lfloor x_{11}\right\rfloor=\boxed{59264}.$

hbghlyj

不需要解出θ
$$x_n=2^n \cos n\theta$$
对于给定的θ有 $x_2=-\frac{28}{9}$ 和 $x_3=- \frac{184}{27}$.
求 $x_4$.

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我的想法:
要求出$x_n$满足的线性递推, 因为$2\exp(\pm i\theta)$是两个1重特征根, 所以特征多项式为$r^2-(4\cos\theta)r+4$, 所以
$$x_n=(4\cos\theta)x_{n-1}-4x_{n-2}$$
因为$x_1=2\cos\theta$, 所以上式可写成$$x_n=2x_1x_{n-1}-4x_{n-2}$$
代入$n=3$得$$x_3=2x_1x_2-4x_1$$
解得$x_1=\frac23$
再代入$n=4$得$$x_4=2x_1x_3-4x_2=\boxed{272\over81}$$

hbghlyj

不需要解出θ$$ x_n=a \sin n\theta+b\cos n\theta$$
$a,b$ 和 $\theta$ 满足 $x_1=15,$ $x_2=3,$ 和 $x_3=-12$. 求 $x_7$ 的值。

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我的想法:
要求出$x_n$满足的线性递推, 因为$\exp(\pm i\theta)$是两个1重特征根, 所以特征多项式为$r^2-(2\cos\theta)r+1$, 所以
$$x_n=(2\cos\theta)x_{n-1}-x_{n-2}$$
代入$n=3$得$$x_3=(2\cos\theta)x_2-x_1$$
解得$2\cos\theta=1$
所以$$x_n=x_{n-1}-x_{n-2}$$
所以$$x_n=(x_{n-2}-x_{n-3})-x_{n-2}=-x_{n-3}$$
再代入$n=7$得
\[x_7=-x_4=x_1=\boxed{15}\]