二次曲线族的正交曲线族

hbghlyj

二次曲线族$λP(x,y)+Q(x,y)=0,λ∈ℝ$, 其中$P,Q$为 $≤2$ 次多项式, 需要满足什么条件, 使得它的正交曲线族是二次曲线?
例如当$P,Q$都是圆, 存在与它正交的圆组. 当$P,Q$为共焦点的椭圆, 存在与它正交的双曲线族(此帖).

hbghlyj

过四点$(\pm1,\pm1)$的圆锥曲线族$\frac{x^2-1}{y^2-1}=k$的正交曲线族不是二次曲线.
In[]:= {dx, dy} = D[(x^2 - 1)/(y^2 - 1), {{x, y}}]; Simplify[dy/dx]
Out[]= $-\frac{\left(x^2-1\right) y}{x \left(y^2-1\right)}$
y'[t] == -(-1 + x[t]^2) y[t], x'[t] == x [t] (-1 + y[t]^2)

Slope field (包含$x=0,y=0$两条直线) VectorPlot[{x (-1+y^2),-(-1+x^2) y},{x,-2,2},{y,-2,2}]

解得, 正交曲线族为$2\log\abs{x y}- x^2 - y^2=k$

Show[ContourPlot[2Log[Abs[x y]]-x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourShading->None,ContourStyle->Red],ContourPlot[(x^2+y^2-2)/(y^2-1),{x,-2,2},{y,-2,2},ContourShading->None]]

hbghlyj

过两点$(\pm1,0)$并且在这两点有竖直切线的二次曲线族${x^2 + y^2 - 1\over y^2}=k$
In[]:=  {dx,dy}=D[(x^2+y^2-1)/y^2,{{x,y}}];Simplify[dy/dx]
Out[]=  $\frac{1-x^2}{x y}$

解得, 正交曲线族为$2 \log\abs x - x^2 - y^2=k$ 也不是二次曲线. (包含直线$x=0$)

Show[ContourPlot[2 Log[Abs[x]]-x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourShading->None,ContourStyle->Red],ContourPlot[(x^2+y^2-1)/y^2,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourShading->None]]

hbghlyj

二次曲线族的正交曲线族 有一般公式吗? 好像都含有 log 吧

hbghlyj

mathcurve.com
Parabolas $y=\alpha x^2$ and ellipses $x^2+2y^2=\alpha$

D[y/x^2, {{x, y}}] . D[x^2 + 2 y^2, {{x, y}}]$=0$

如何对应于全纯函数

hbghlyj

发到 math.stackexchange.com/questions/5017216/orthogonal-trajectory-to-a-pencil-of-conics 问一问