卡西尼卵形线与共中心,经过其焦点的直角双曲线正交

hbghlyj

Cassini ovals and orthogonal trajectories

设焦点为$P_1(1,0),P_2(-1,0)$,卡西尼卵形线的方程为$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})+1-b^{4}=0.$
中心为$(0,0)$,经过$P_1,P_2$的直角双曲线的方程为$g(x,y)=\frac{x^2-y^2-1}{xy}-\lambda=0.$
計算表明 $∇f·∇g=0$

isee

嗬~

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我这里 en.wikipedia 公式显示不了，这个正交如何证的，会不会有物理模型？

hbghlyj

isee 发表于 2022-8-20 16:07
会不会有物理模型？

注意红色字looks like(只是近似的.)
The image depicting the Cassini ovals and the hyperbolas looks like the equipotential curves of two equal point charges together with the lines of the generated electrical field. But for the potential of two equal point charges one has $\displaystyle 1/|PP_{1}|+1/|PP_{2}|={\text{constant}}$. (See Implicit curve.)

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=640
9^#

两个等量同种点电荷点电荷的等势线也被称为凯莱卵形线(Cayley ovals)

确实挺像的.

kuing

isee 发表于 2022-8-20 23:07
嗬~

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我这里 en.wikipedia 不翻墙是打不开嘀😔

isee

kuing 发表于 2022-8-20 23:11
我这里 en.wikipedia 不翻墙是打不开嘀😔

一样一样

hbghlyj

isee 发表于 2022-8-20 16:07
我这里 en.wikipedia 公式显示不了

使用Chrome extension: Wikipedia with MathJax或许能解决?

isee

hbghlyj 发表于 2022-8-20 23:14
使用Chrome extension: Wikipedia with MathJax或许能解决?

不错，很多看的老问题解决了，虽然有时要刷新好多次，感谢~

色k

isee 发表于 2022-8-20 23:37
不错，很多看的老问题解决了，虽然有时要刷新好多次，感谢~

我倒不存在公式显示问题，翻墙后就能看了。

hbghlyj

isee 发表于 2022-8-20 16:07
会不会有物理模型？

物理学中卡西尼卵形线出现在何处？
三、物理上的应用

    如 @Hiloxiko
    提到的：两根带电线密度相同的长直导线，在一垂直平面上形成的等势线方程为卡西尼曲线。

其实考虑到电，接下来理所应当的就是考虑磁场，两根长直导线产生的磁场也会产生卡西尼曲线。

另外广义的卡西尼曲线其实就是导线的带电线密度/电流大小不同，且可以推广到n个直导线的共同作用。

待续……


    广义的卡西尼曲线和有心力场也有密切关系，同样可以将 @Hiloxiko
    的结论推广至更一般的情况。

若质点运动轨迹为多扭线 $r^n=2a^n\cos⁡θ$ ，则质点受力为有心力，力心在扭点，有心力与 $r^{−(2n+3)}$ 成正比。

待续……