梯度向量场与水平集正交

hbghlyj

Example 5.8.

Figure 9. Orthogonal System of Ellipses and Parabolas.

函数$u(x, y)=x^{2}+2 y^{2}$的梯度向量场$\nabla u=(2 x, 4 y)^{\sf T}$.所以,梯度流方程为$$\dot{x}=-2 x, \quad \dot{y}=-4 y$$从$\left(x_{0}, y_{0}\right)^{\sf T}$点起始的解为$$\tag{5.9}x(t)=x_{0} e^{-2 t}, \quad y(t)=y_{0} e^{-4 t}$$注意，对于这个线性动力系统，原点是一个稳定的不动点，解 $\mathbf x(t) → \mathbf0$ 以指数速度快速收敛到函数 $u(x, y)$ 的最小值。如果我们不是在任何一个坐标轴上开始的，即 $x_0\ne0$ 和 $y_0\ne0$，那么轨迹 (5.9) 是形式为 $y = c x^2$ 的半抛物线，其中 $c = y_0/x^2_0$。这些曲线以及四个坐标半轴是最快达到最小值 0 的路径。它的水平集$u(x, y) = x^2 + 2 y^2 = c$ 形成一个以原点为中心的同心椭圆系统。定理 5.7 推出，梯度流方程 (5.9) 的解形成的抛物线轨迹与上述椭圆系统正交。图 9 显示椭圆和抛物线在任何地方都正交。