求$x³+y³+z³-3xyz=0$于$(1,1,1)$的切平面

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/2765102
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这个曲面是函数$F(x,y,z) = x^3+y^3+z^3-3xyz$的水平集。
$F$的梯度为$$\nabla F = (F_x,F_y,F_z) = \vec n = ( 3x^2 - 3yz, 3y^2 -3xz, 3z^2 - 3xy )$$在点$(1,1,1)$处计算梯度是零向量：$$∇F(1,1,1)=(0,0,0)$$这是一个有技巧性的问题，此时没有切平面。^[1]
$$F(x,y,z) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y- y z - x z)$$

曲面是一个平面$x+y+z=0$和一个圆柱$x^2+y^2+z^2-x y- y z - x z=0$的并集。平面不含$(1,1,1)$而包含它的圆柱[2]退化成一条直线而一条直线的法向量是不唯一的。

$F$在复数域上分解为^[3]$$F(x,y,z)=(x+y+z)(x+ y \omega + z \omega^2)(x + y \omega^2 + z \omega)\quad,\text{where }\omega=e^{2πi/3}$$
$F$的海森矩阵\begin{pmatrix}
6x&-3z&-3y \\
-3z&6y&-3x \\
-3y&-3x&6z \\
\end{pmatrix}的行列式为$−54(x^3+y^3+z^3−3xyz)$

注
[1] 可以类比于二维的等高线图（水平集将会是曲线而不是曲面）。在任何等高线上，都能找到切线。但是在顶点处等高线缩成一点，切线是无法定义的。
[2] $x^2+y^2+z^2-x y- y z - x z=r^2$是一个以$x=y=z$为轴,半径为$\sqrt{2\over3}r$的圆柱.
[3] 另一个例子是$$(Ax+By+Cz)(Bx+Cy+Az)(Cx+Ay+Bz) = (x+y+z)^3 - 9 \left( x^2 y + y^2 z + z^2 x \right)$$其中$A,B,C$为$η^3−3η−1=0$的三个根$$A = 2 \cos \left( \frac{7 \pi}{9} \right) \approx -1.532 \; \; \; , B = 2 \cos \left( \frac{5 \pi}{9} \right) \approx -0.347 \; \; \; , C = 2 \cos \left( \frac{ \pi}{9} \right) \approx 1.879 \; \; \; .$$