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[几何] 双叶双曲面∼椭球,双叶双曲面∼椭圆抛物面,单叶双曲面∼双曲抛物面

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hbghlyj Post time 2023-5-27 15:16 |Read mode
本帖最后由 hbghlyj 于 2024-9-22 07:57 编辑 $\mathbb RP^3$中,证明:以下3组,存在射影变换将2个曲面互变。
  • $- x^2 - y^2 + z^2=t^2$与$ x^2 +y^2 + z^2=t^2$。
    Untitled.gif Untitled.gif
  • $- x^2 - y^2 + z^2=t^2$与$x^2+y^2=tz$。
    Untitled.gif
  • $x^2+y^2-z^2=t^2$与$xy=tz$。
    Untitled.gif Untitled.gif

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 Author| hbghlyj Post time 2023-5-27 15:24
本帖最后由 hbghlyj 于 2024-3-27 00:19 编辑 这3组都不难写出实射影变换将2个曲面互变:
  • $(x,y,z,t)\mapsto(x,y,t,z)$
  • $(x,y,z,t)\mapsto(x,y,\frac{z-t}2,\frac{z+t}2)$
  • $(x,y,z,t)\mapsto(\frac{x-y}2,\frac{x+y}2,\frac{z-t}2,\frac{z+t}2)$

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 Author| hbghlyj Post time 2024-3-27 07:31
本帖最后由 hbghlyj 于 2024-12-25 07:32 编辑 从 3个特征值 看:
如果均为正,则为椭球;
两个正数和一个负数给出单叶双曲面;
一个正数和两个负数给出双叶双曲面。
如果一个或多个特征值$=0$,就是抛物面、锥/柱面甚至一对平面。


锥面、柱面 显然是射影等价的,单独分作一类。
一对平面 相交和平行的情况 显然是射影等价的,再单独分一类。
剩下的二次曲面,按 射影等价 应该是分为两类:
  • 椭球、双叶双曲面、椭圆抛物面
  • 单叶双曲面、双曲抛物面
第一类不存在直母线,第二类存在直母线👌
Normal form of projective quadrics
We see that projective transformations don't mix Gaussian curvatures of different sign. This is true for general surfaces.
负高斯曲率,则存在直母线。

手机版|悠闲数学娱乐论坛(第3版)

2025-3-6 03:03 GMT+8

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