三次曲线的拐点

hbghlyj

续这帖：

TSC999 发表于 2021-12-29 06:47
首先，原方程可以变换成二元的等价方程。作下面的代换 (至于这个代换式是怎么得来的

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4\tag0\label0$$
去分母得
$$a^3 - 3 a^2 b - 3 a^2 c - 3 a b^2 - 5 a b c - 3 a c^2 + b^3 - 3 b^2 c - 3 b c^2 + c^3=0\tag1\label1$$
为求出它的拐点，令$H=0$ WolframAlpha
$$69 a^3 - 363 a^2 (b + c) - a (363 b^2 + 449 b c + 363 c^2) + 69 b^3 - 363 b^2 c - 363 b c^2 + 69 c^3=0\tag2\label2$$

将(1)(2)联立，找到一组解$[a,b,c]=[1,-1,0]$

所以$[1,-1,0]$是曲线的一个拐点（可以由 $a,b,c$ 的对称性再求出2个拐点$[0,1,-1],[1,0,-1]$）
（虽然$[1,-1,0]$代入\eqref{0}会使分母为零，但也没关系，只要满足\eqref{1}就行了。）

然后，计算曲线在$[1,-1,0]$的切线 WolframAlpha 所以$$6a+6b-c=0$$是曲线在$[1,-1,0]$的切线

我们看到，$6a+6b-c$就是那个代换式子的分母：

TSC999 发表于 2021-12-29 06:47
可以不去管它，承认它正确就行了)
$x = (-28 (a + b + 2 c))/(6 a + 6 b - c), \quad  y = (364 (a - b))/(
6 a + 6 b - c)$

這是non-singular cubic curve，所以可套用文中的方法：

hbghlyj

下一步是求出一个射影变换，满足（它不是唯一的，有1个自由参数。）

• 把$[1,-1,0]$映射到$[0,1,0]$，
• 且把$[1,-1,0]$处的切线$6a+6b-c=0$映射到$z=0$

容易验证，$[a,b,c]\mapsto[-28 (a + b + 2 c),364 (a - b), 6 a + 6 b - c]$符合上述要求。曲线变为
$$y^2 = x^3 + 109 x^2 + 224 x\tag3\label3$$
和原帖一样。

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读者可以练习上面的方法：把$u^3+u v^2+v^3+u+v-2=0$化为$y^2=x^3-x^2-2 x-32$
见文中的例子。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-3 15:22
下一步是求出一个射影变换，满足（这个射影变换不是唯一的，有1个自由参数。）

补充一下“这个射影变换不是唯一的”这句：

容易验证，变换$[a,b,c]↦[a+b,b,6a+6b-c]$也符合要求。曲线经代换为
$$91 x^3 - 69 x^2 - x y + y^2 + 15 x - 1=0$$
（文中证明了，这个变换后，关于$y$必是二次的）配方，把$y$换成$y+\frac{x}2$得
\[y^2+91 x^3 - \frac{277}4 x^2 + 15 x - 1=0\]
虽然这个式子和\eqref{3}不同，但只要把$x$换成$\frac1{13}\left(-\frac1{28}x+2\right)$，把$y$换成$\frac1{728}y$得 WolframAlpha
\[y^2=x (x^2 + 109 x + 224)\]
就和\eqref{3}相同了。

hbghlyj

相关：

huing 发表于 2019-4-17 09:39
也可以把任一拐点射影成无穷远点，将三次曲线变成一个轴对称图形。

相关：
1.3 Weierstrass Normal Form
Joseph H. Silverman, John T. Tate
Rational Points on Elliptic Curves

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-3 17:11
虽然这个式子和\eqref{3}不同，但只要把$x$换成$\frac1{13}\left(-\frac1{28}x+2\right)$，把$y$换成$\frac1{728}y$就和\eqref{3}相同了。

总结一下，能把曲线变成$$y^2=x\text{的三次式}$$形式的射影变换不是唯一的（有1个自由参数），但它们之间只差一个仿射变换。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-3 17:51
但它们之间只差一个仿射变换。

例如，
先作3#的变换$f_3:[a,b,c]↦[a+b,b,6a+6b-c]$
再作仿射变换$a:[x,y,z]\mapsto[56 z - 364 x, 364 (x - 2 y), z]$
就相当于2#的变换$f_2:[a,b,c]\mapsto[-28 (a + b + 2 c),364 (a - b), 6 a + 6 b - c]$
\[a\circ f_3=f_2\]
WolframAlpha

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-3 14:51
所以$[1,-1,0]$是曲线的一个拐点（可以由 $a,b,c$ 的对称性再求出2个拐点

因為\eqref{1}、\eqref{2}是三次曲线，所以共有$3\times3=9$个交点。

tylerzhu.com/assets/handouts/cubicflexpoints.pdf
非奇异三次曲线共有9个拐点，9个点3个一组地分布在12条直线上，其中通过每个点有4条直线。形成Hesse configuration：

（上图是想象图，因为我们无法画出复射影平面$\Bbb CP^2$.）
例如$f=\alpha\left(z_1^3+z_2^3+z_3^3\right)+6 \beta z_1 z_2 z_3$的9个拐点为
\begin{array}{lll}
(0,1,-1) & (0,1,-\omega) & \left(0,1,-\omega^2\right) \\
(-1,0,1) & (-\omega, 0,1) & \left(-\omega^2, 0,1\right) \\
(1,-1,0) & (1,-\omega, 0) & \left(1,-\omega^2, 0\right)
\end{array}12条直线为\begin{array}{lll}
z_1 = 0&z_2=0&z_3=0\\
z_1+z_2+z_3=0&\omega^2 z_1+\omega z_2+z_3=0&\omega z_1+\omega^2 z_2+z_3=0\\
\omega z_1+z_2+z_3=0&z_1+\omega z_2+z_3=0&\omega^2 z_1+\omega^2 z_2+z_3=0\\
\omega^2z_1+z_2+z_3=0&\omega z_1+\omega z_2+z_3=0&z_1+\omega^2 z_2+z_3=0
\end{array}

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-3 19:21
9个点3个一组地分布在12条直线上

定理『過每2個拐點的直線與三次曲線的第3交點必為拐點』

可由三次曲線的「加法群」得出：

引理『$p$為拐點$\iff p+p+p=0$.』

定理的證明：設$p,q$為拐點，那麼 $p+p+p=0,q+q+q=0$.
設過$p,q$的直線與三次曲線的第3交點為$r$，那麼$p+q+r=0$.
根据加法群的交换律、结合律，
$$p+p+p+q+q+q+r+r+r=p+q+r+p+q+r+p+q+r=0+0+0=0$$
而$p+p+p=0,q+q+q=0$，所以$r+r+r=0$，所以這個交點$r$也是拐點

更多的“加法群”计算，见原帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=8441&pid=42459
三次曲线在物理的应用，见：people.maths.ox.ac.uk/~szendroi/cubic.pdf

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-3 19:21
（上图是想象图，因为我们无法画出复射影平面$\Bbb CP^2$.）

这个“想象图”在加法群的同构下就是真实的图
非奇异三次曲线的同构于加法群$(\Bbb R/\Bbb Z)^2$
9个拐点对应到8个3阶点加上原点：
\begin{array}l
(0,0)&(\frac13,0)&(\frac23,0)\\
(0,\frac13)&(\frac13,\frac13)&(\frac23,\frac13)\\
(0,\frac23)&(\frac13,\frac23)&(\frac23,\frac23)\\
\end{array}
这9个点画出来是

再考虑$\Bbb R^2/\Bbb Z^2$上的通过它們的直线，就是上面的12条直线了.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-3 19:21
其中通过每个点有4条直线

这4条直线的交比恒等于$e^{\pm\pi i/3}$，是Wikipedia说的"most symmetric" cross-ratio

或者，从$y^2z-x (x-z) (x-λz)=0$开始，取出一个拐点[0,1,0]，其余8个拐点消y得到关于4条直线$x=k_i z,i=1,2,3,4$，算$k_1,k_2,k_3,k_4$的交比，化简出来就是$e^{\pm\pi i/3}$