圆锥曲线中动圆过定点问题

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今天看见群友的一个问题，看着是熟悉的动圆定点问题，就做了一下，然而还是发现了一些新奇。如图
我以射影几何角度做了一下
然而其关键原理的确是对合的乘幂，最后算出两定点之一恰好是x=1的极点。这是由命题人设置了特殊的系数所致还是隐藏着什么我没看出的原理？