椭球面的绳线作图

hbghlyj

Anschauliche Geometrie
这种作图法是：先装配好有一个椭圆和一个双曲綫的固定架子，双曲綫的平面垂直于椭圆的平面，并通过其长轴。

• 以椭圆的焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 为双曲綫的頂点
• 以椭圆的頂点 $S_1$ 和 $S_2$ 为双曲綫的焦点。
  

以上两个条件唯一地确定了双曲綫，如果椭圆已經給出的話。

現在把绳线的一端縛在椭圆的一个頂点处，这个頂点比如说是 $S_1$。然后把它从离 $S_1$ 較近的双曲綫的一支的后面绕过来，再从椭圆的前面绕过去，将另一端縛在 $F_2$。将椭圆和双曲綫之間的这段绳綫在 $B$ 点拉紧，整个的绳綫就成为折綫 $S_1 H B E F_2$ 的样子。其中的一段 $B H S_1$ 是从 $B$ 经过双曲綫上一点到 $S_1$ 的最短路程，同样，$B E F_2$ 是从 $B$ 经过双曲綫上一点到 $F_2$ 的最短路程。

現在移动点 $B$，在移动的过程中时时拉紧䋲綫，則点 $B$ 的轨迹是椭球面。

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德累斯顿工业大学的 Digitales Archiv Mathematischer Modelle (DAMM) 网站上展示了
金属模型 https://mathematical-models.org/en/models/101

Fadenkonstruktion eines Ellipsoids mittels einer Ellipse und einer Hyperbel als Fokalkurven Das Modell zeigt ein festes Gerüst, das aus einer Ellipse und einer Hyperbel besteht. Die Ebene der Hyperbel ist senkrecht zur Ellipsenebene und enthält deren große Achse. Die Hyperbel hat die Brennpunkte der Ellipse zu Scheiteln und deren Scheitel zu Brennpunkten. Ein Faden ist in einem Ellipsenscheitel befestigt und zuerst von hinten um den nächstgelegenen Ast der Hyperbel und von vorn über die Ellipse zu dem nicht diesem Ellipsenscheitel zugeordneten Brennpunkt der Ellipse geführt und dort befestigt. Wird der Faden von einem Punkt P aus, der zwischen Ellipse und Hyperbel liegt, straff gezogen, so liegt P auf einem Ellipsoid.

石膏模型 https://mathematical-models.org/de/models/163

Konfokale Quadriken: Ellipsoid mit einschaligem Hyperboloid Wenn ein geschlossener unausdehnbarer Faden, der um zwei ineinandergefügte confocale Flächen, ein Ellipsoid und ein einschaliges Hyperboloid, herumgeschlungen ist, durch einen beweglichen Punkt derart gespannt wird, dass er beständig jeden der beiden durch das Ellipsoid getrennten Teile des Hyperboloids berührt (sei es in einem Punkt oder längs eines ganzen Kurvenzugs), so beschreibt der Punkt ein den gegebenen Flächen confocales Ellipsoid. Der rote Faden legt sich an beide Teile des Hyperboloids längs eines Teiles der Schnittkurve an (erster Fall), der andere, gelbe, nur an den einen Teil, berührt dagegen den andern nur in einem Punkt (zweiter Fall).

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https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/90059/117

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Focal conic sections of a system of confocal quadric surfaces, string construction of an ellipsoid The model 225/155a consists of a rigid frame representing the focal ellipse and the focal hyperbola of a system of confocal quadric surfaces. The plane of the hyperbola is orthogonal to the plane of the ellipse and contains the major axis of the latter. The hyperbola has the foci of the ellipse as vertices and the vertices of the latter as foci. In one vertix of the ellipse and the non-corresponding focus a loop of string is fixed and placed about the focal conic sections in a certain way. It can be shown that all the points one receives by drawing taut the string in any point $P$ are located on an ellipsoid.

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https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/90059/117

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Focal conic sections of a system of confocal quadric surfaces, string construction of an ellipsoid The model 225/155a consists of a rigid frame representing the focal ellipse and the focal hyperbola of a system of confocal quadric surfaces. The plane of the hyperbola is orthogonal to the plane of the ellipse and contains the major axis of the latter. The hyperbola has the foci of the ellipse as vertices and the vertices of the latter as foci. In one vertix of the ellipse and the non-corresponding focus a loop of string is fixed and placed about the focal conic sections in a certain way. It can be shown that all the points one receives by drawing taut the string in any point $P$ are located on an ellipsoid.

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证明可以在《The Universe of Quadrics (2020)》的第 321 页找到。
点 $P$ 移动(保持绳绷紧)则只需证明 $P$ 的所有可能的速度都与 $n_P$ 正交，其中 $n_P$ 是椭圆面的法线。
证明使用了两个引理Lemma 7.3.1、Lemma 7.3.2
证明还利用了定理 7.1.2：从任意点 $P$ 到共焦二次曲面族的所作的锥面都是共焦的，这些共焦锥面的公共对称平面与该共焦二次曲面族中通过 $P$ 的一个二次曲面相切。

hbghlyj 发表于 2024-9-20 21:09
双曲綫的平面垂直于椭圆的平面，并通过其长轴。

• 以椭圆的焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 为双曲綫的頂点
• 以椭圆的頂点 $S_1$ 和 $S_2$ 为双曲綫的焦点。

证明还利用了《The Universe of Conics (2015)》的定理 4.2.1：满足上面那种关系的一对圆锥曲线中，每条圆锥曲线都是通过另一条圆锥曲线的直圆锥顶点的轨迹，且该圆锥的轴与该圆锥曲线相切。另见这篇回答。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-9-21 16:00
证明还利用了定理 7.1.2：从任意点 $P$ 到共焦二次曲面族的所作的锥面都是共焦的，这些共焦锥面的公共对称平面与该共焦二次曲面族中通过 $P$ 的一个二次曲面相切。

啊，我明白在书中证明的第二段中这个定理 7.1.2 是如何使用的了。
过点 $P$ 与 $e$ 相交的直线生成一个锥面，过点 $P$ 与 $h$ 相交的直线生成一个锥面，根据定理 7.1.2 这两个锥面是共焦的，且 $n_P$ 位于这两个共焦锥面的公共对称平面上，又注意到直线 $PG_1$ 是这两个共焦锥面的一条交线，所以 $PG_1$ 绕 $n_P$ 旋转 180° (即直线 $PG_2$) 仍然是这两个共焦锥面的一条交线，因此 $n_P$ 是 $PG_1$ 和 $PG_2$ 的角平分线。

hbghlyj

定理 7.1.2 的证明，有哪位专家能解释一下后半部分(锥面的公共对称平面)吗？我不明白