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网址：zhihu.com/question/642966529
标题：如何求对角线交于某定点的定圆内接四边形面积的最大值？
设四边形 $ABCD$ 内接于半径为 $r$ 的定圆，对角线 $AC,BD$ 交于与圆心 $O$ 距离为 $d~(0<d<r)~$ 的定点 $P.$ 求 $ABCD$ 面积的最大值。
我的回答：
承接 热爱数学的小咖 的转化：
于是就转化为了不等式问题：
已知 $0\leqslant{\color{Red} {\alpha}} <{\color{Blue}{ \beta}} <\pi$ ，求
$(r^2-d^2\sin^2{\color{Red} {\alpha}} )(r^2-d^2\sin^2{\color{Blue} {\beta}} )\sin^2 ({\color{Blue} {\beta}} -{\color{Red} {\alpha}} )$ 最大值
为方便码字下面将 `\alpha`, `\beta` 写成 `x`, `y`。
记 `u=d^2/r^2\in(0,1)`，变成求
\[f(x,y)=(1-u\sin^2x)(1-u\sin^2y)\sin^2(y-x)\]
的最大值。（面积表达式为 `S^2=4r^4f(x,y)`）
记 `m=(y-x)/2`，则有
\begin{align*}
&f\left(\frac\pi2-m,\frac\pi2+m\right)-f(x,y)\\
={}&\frac u2\sin^2(y-x)\cos^2\frac{x+y}2\bigl[u-(4-2u)\cos(x-y)-u\cos(x+y)\bigr],\quad(1)\\[2ex]
&f(m,\pi-m)-f(x,y)\\
={}&\frac u2\sin^2(y-x)\sin^2\frac{x+y}2\bigl[u+(4-2u)\cos(x-y)+u\cos(x+y)\bigr],\quad(2)
\end{align*}
由 `\bigl[u-(4-2u)\cos(x-y)-u\cos(x+y)\bigr]+\bigl[u+(4-2u)\cos(x-y)+u\cos(x+y)\bigr]=2u>0` 可知 (1)(2) 中至少一个 `\geqslant0`，所以
\[f(x,y)\leqslant\max\left\{f\left(\frac\pi2-m,\frac\pi2+m\right),f(m,\pi-m)\right\},\]
而这就说明了当四边形面积最大时，必定对角线关于 `OP` 对称，也就是等腰梯形时。
于是就只需求 `g(x)=(1-u\sin^2x)^2\sin^22x` 的最大值，
换个元就是求 `h(t)=4(1-ut)^2(1-t)t,t\in(0,1)` 的最大值，求导可知当
\[t=\frac{2+3u-\sqrt{4-4u+9u^2}}{8u}\]
时最大，代回去得 `h(t)` 最大值为
\[\frac{-16+32u+56u^2-72u^3+27u^4+(2-u)\sqrt{(4-4u+9u^2)^3}}{128u^2},\]
再代回 `d` 和 `r` 以及 `S^2=4r^4f(x,y)` 中，最终得到最大面积为
\[\frac{\sqrt{-16r^8+32d^2r^6+56d^4r^4-72d^6r^2+27d^8+(2r^2-d^2)\sqrt{(4r^4-4d^2r^2+9d^4)^3}}}{4\sqrt2d^2}.\]
发布于 2024-02-06 17:06 |
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