知乎撸题存档(2025)——不等式类

kuing

网址：zhihu.com/question/9088030771
标题：求助大佬，这个怎么用巧妙的方法求最大值?

或者再加上值域

我的回答：
要求最大值显然只需考虑 k>0，此时由均值及 CS（逆用）得
\begin{align*}
f(k)&=2\sqrt6\left(\frac{2\sqrt{2k^2}\sqrt{1+k^2}}{3+4k^2}+\frac{2\sqrt2\sqrt{1+k^2}}{4+3k^2}\right)\\
&\leqslant2\sqrt6\left(\frac{1+3k^2}{3+4k^2}+\frac{3+k^2}{4+3k^2}\right)\\
&=\frac{2\sqrt6}3\left(2+\frac{5k^2}{3(1+k^2)+k^2}+\frac5{3(1+k^2)+1}\right)\\
&\leqslant\frac{2\sqrt6}3\left(2+\frac{5k^2}{(6+1)^2}\left(\frac{6^2}{3(1+k^2)}+\frac1{k^2}\right)+\frac5{(6+1)^2}\left(\frac{6^2}{3(1+k^2)}+\frac11\right)\right)\\
&=\frac{16\sqrt6}7,
\end{align*}
当 k=1 取等。

发布于 2025-01-09 21:44

注：自然是三角换元最好，但我看帖时已有人写了，所以就写个不换元直接放缩。

另外，网友“元无虚空”的回答化为同分母也有点意思，记录一下：
设 `a`, `b>0`, `x`, `y\inR`，则当 `(bx,ay)` 与 `(a,b)` 同序（反序）时 `x/a + y/b \leqslant\mathrel{(\geqslant)} 2(x + y)/(a + b)`。

kuing

网址：zhihu.com/question/9603490593
标题：这个取等条件奇怪的不等式怎么解？
$$\frac{x+y+z}{3}+\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \geq 5\sqrt[3]{ \frac{xyz}{16} }$$

我的回答：
假设不等式的条件是 x, y, z > 0。

常规证法：

由齐次性不妨设 xyz = 1，再由对称性不妨设 x ≤ y ≤ z，则有 x ≤ 1 ≤ yz。

记 t = y + z，则由均值有
\[t\geqslant2\sqrt{yz}=\frac2{\sqrt x},\]
且
\[\frac{x+y+z}3+\frac3{\frac1x+\frac1y+\frac1z}=\frac{x+t}3+\frac3{\frac1x+xt}=g(t),\]
求导有
\begin{align*}
g'(t)&=\frac13-\frac{3x^3}{(1+x^2t)^2}\\
&\geqslant\frac13-\frac{3x^3}{(1+2x^{3/2})^2}\\
&=\frac13-\frac{3x^3}{(1+x^{3/2}+x^{3/2})^2}\\
&\geqslant\frac13-\frac{3x^3}{(3x)^2}\\
&=\frac{1-x}3\geqslant0,
\end{align*}
再记 $u=\sqrt x$ ，则
\begin{align*}
g(t)&\geqslant g\left(\frac2{\sqrt x}\right)\\
&=\frac{u^2+\frac2u}3+\frac3{\frac1{u^2}+2u}\\
&=\frac{2(u^6+7u^3+1)}{3u(2u^3+1)}=h(u),
\end{align*}
求导得
\[h'(u)=\frac{2(1-u^3)^2(4u^3-1)}{3u^2(2u^3+1)^2},\]
所以
\[h(u)\geqslant h\left(\frac1{\sqrt[3]4}\right)=\frac5{\sqrt[3]{16}},\]
即得证，当 x : y : z = 1 : 4 : 4 时取等。

编辑于 2025-01-16 20:58