论2017/2018年高考统计类题目的坑爹性

战巡

论2017、2018年高考统计类题目的坑爹性
——战巡

        这个东西已经连续写到第五年了，真是永恒的高考，永恒的统计坑！只是这两年很多省都不再自己出题，用的同一份卷子，搞得题目少了，所以只能两年的题目写一篇，但坑还是那么坑！

        废话不说了，直接上题

战巡

1、        2017北京卷理科17


这题目一看就特喵的不对，哪有这样做实验的？一看就知道这出题的根本就不专业，连基本的实验怎么做的搞不清楚，你要是医药公司特喵要敢这样做实验，你看我审稿的不给你打回来重写？！你们不知道安慰剂效应？

真正要验证新药疗效要怎样设计实验？分组是没错，但你得分至少三组，一组吃新药，一组吃旧药，还有一组，千万不能不吃药啊！必须吃安慰剂！

好了，然后回过头来看题，卧槽你特喵的逗我？一大堆破点你要我在考场上去数？！你们还能再不人道点么？数点特喵是机器干的事情好吧，你让考生去数？还这么多点，你们这样有意义么？难道不是纯粹折腾人么？这出题的简直混账到顶！

好吧，这些我先不去纠结，第二问也没啥问题，但特喵你来给我解释解释，第三问什么鬼？！判断方差大小？！你特喵搞笑吧？就给个散点图，数据都没有，判断个屁啊？

如果有人说什么直接观察点的散布情况，劳资特喵拍死你！干统计有这么草率的么？光看个图就敢下结论，我们统计学家早特么下岗了好吧，何况别说有图，就是你拿了数据来，算出了两个方差大小，也不能就这么比较了大小就完事！必！须！做！检！验！

做的什么检验呢？一般比较方差大小会比较两个方差估计量的比值，这个比值近似服从F分布，再根据相应的自由度来算出p值，再判断显著与否，如果选α=0.05，一般一个方差得是另一个的至少3到4倍才可！能！显著，也就是说，除非两个方差差到三四倍以上，否则你能得出的结论只能是：两个方差没！有！显！著！差！异！

这里从图上看，三四倍？别想了，两倍有没有都不知道，估计就是不显著的，因此统计学家给出的结论必然是：两个方差没有差异。

战巡

2、        2017全国卷I文科19


第一眼看到的公式就特喵不对，都吐槽了多少年了，样本方差公式下面是$n-1$，不是$n$，有无偏估计为毛要用有偏估计，你们吃饱了撑着是吧？
\[s=\sqrt{\frac{1}{16-1}\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x})^2}\]
这个地方再特喵搞错你们就等着大学概统挂科吧！

        然后再继续看题目，第一问，求相关系数，我可以姑且勉强当你是对的，毕竟抽样次序不是一个连续变量，只是个数字而已，这里用皮尔逊相关并不好，更推荐的是Kendall $\tau$统计量，但我可以不纠结这个问题。

        然而后面问题特喵就大发了，什么叫“是否可以认为零件尺寸不随生产过程的进行系统的变大或变小”？你是想比较是否无关是吧？
那好，我问你两个问题，第一，相关系数为0是否意味着无关？！我随便举个栗子，数据(-1,1)，(0,0)，(1,1)，你算下来皮尔逊相关就为0，但它却存在这严格的$y=x^2$这样一个关系，你说它是不是无关？

退一万步讲，即便你是要考察相关系数是否为0好了，那第二个问题，请问高中生做得出来么？！你出题的是不是二逼的以为直接比较相关系数和0就算完事了？那我告诉你，最后算出来相关系数如下

你来告诉我，这样的相关系数算大还是算小？你来告诉我接下来怎么下结论？！

        你说这样的相关系数接近0么？-0.177看起来的确不大，但我告诉你很多算下来显著的相关系数就这么大，你怎么解释？

        那到底要如何下这个结论？还是那句话，统计学家不是特喵看个数比个大小就能下结论拉倒的，必！须！做！检！验！皮尔逊相关有相应的检验方法，那就是用Fisher变换，令样本相关系数为r，变换后的统计量有
\[Z=arctanh(r)=\frac{1}{2}\ln(\frac{1+r}{1-r})\sim N(0, \frac{1}{n-3})\]
这个的证明我不写了，很明显是超出高中范围的东西，这里带进去有
$Z=-0.1793$

        还在方差为$\frac{1}{13}$的情况下，还达不到显著，因此认为相关系数为0。

        但如果我样本量足够大呢？比如样本量200，最后算下来就是显著的，那你就得说这两个东西有关！

        所以综上，你们觉得高中生做得出来么？！你不是逗人玩么？！

战巡

3、        2017全国卷II理科18/文科19


又见直方图！说了多少次了，直方图只是拿来看个大概趋势的，不是给你用来直接做统计分析的，统计分析用原始数据！

                但这题最大的毛病不是直方图，而是下面的列联表，为毛会划分出“箱产量<50 kg”和“箱产量>=50 kg”这两类？你们不是有原始数据么？要不然怎么做得出直方图？原始数据一个好端端的连续变量，尼玛怎么就硬是拆成了只有两项的离散变量呢？比较两种方法直接两组做个t检验不就出来了？有你们这样折腾的么？！你们不知道这样会平白无故丢失很多信息，降低结果的可靠性？！

                再说了，你这里的$K$是个什么玩意？你给我说清楚！这个分明是皮尔逊卡方检验，国际通用符号$\chi^2$，特喵哪有用$K$的？你们出题的是手残还是脑残？一个希腊字母写不出来？！

战巡

4、        2018全国卷I理科20



这特喵什么鸟题？！

第一问你说有没有问题？没有问题，但特喵你能不能换个专业点的说法？20件有2件不合格的概率，这是什么？这就是似然函数（Likelihood function），而使它达到最大值的$p_0$是什么？就是$p$的最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation（MLE））！对于高中生，没有学过MLE，按理说就特喵不应该考，对于大学生，直接说求$p$的MLE，他们就知道要干什么了。

        第二问，特喵什么玩意！(i)也还罢了，(ii)你又想只比较个均值就下结论是不？

        你这里的$p$是从20个样本里估计出来的，不是真实值，真实值你特么不知道，所以你在估计$X=40+25·180\hat{p}$的时候，就必然有随机性，这里你第一问已经搞清楚了，要求的是这个$X$的均值，但特喵第二问你怎么搞？比较某随机变量的均值和一个常数的大小，你必须去做假设检验，你要敢直接拿$E(X)=490$去和$400$比较大小，看劳资不打断你狗腿！

        这里要怎么做？首先，我们可以倒过去算，如果$E(X)=400$，那相对应的$p=0.08$这个不难算，于是现在已知$\hat{p}=0.1$，要比较$p$和$0.08$的大小。
        好，这个怎么比？当然要假设检验，不妨用常用的$\alpha=0.05$，这里用Wald法，$\hat{p}$的方差为$\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$，于是有
\[z=\frac{\hat{p}-0.08}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{20}}}=\frac{0.1-0.08}{\sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{20}}}=0.298<1.96=z_{0.975}\]
很显然，特喵的不显著！p和0.08没有显著差异，那尼玛怎么下结论？！出题的混球你特么来告诉我！

战巡

5、        2018全国卷I文科19



直方图…直方图你大爷！

一开始抽样就不对，使用和未使用节水龙头50天用水量？请问这50天是哪50天？什么季节的50天？你不觉得用水量和季节等其他因素有很大关系么？你能保证其中的差异是这个什么节水龙头造成的？除非你这50天不是连续的，而是在一年中随机抽的50天，才具有代表性，才特么能比较！

然后，讲过无数次了，直方图只是拿来给你看个大概趋势的，不能直接拿直方图来做统计分析！你有精确的原始数据不用，用直方图干什么我问你！还要什么同组中数据以中点代表，你不觉得你在无故缩小样本方差么？！

到了第三问，前面这个抽样不对的问题就开始凸显了，你这个50天能代表一年么？前面说过，除非50天是随机抽的，否则这个估计的值，你敢用？！

战巡

6、        2018全国卷II理科18/文科18


先不用看下面的问题，先看题目本身就特喵不对！那个模型2，根据2010年到2016年数据建立？！出题的你特喵逗我？前面的数据给你吃了？你真的当不能用么？

如果你们看出了2009到2010的断层，那么你的模型2直接把断层考虑进去不就完事了？哪有直接丢掉前面数据的？设立一个新变量$z$，当年份≤2009时$z=0$，否则$z=1$，回归方程$y=\beta_0+\beta_1 t+\beta_2 z+\beta_3 zt+\epsilon$，立马解决！

为什么上面这个模型比它那个模型2好？我不想从数学上去解释，太复杂，你们也未必看得懂，我只说一些定性的东西，你们应该有一些基本概念：数据越多，估计量的方差越小，意味着估计越稳定，精度越高，这就是为啥大家都想要更多的数据，出题的你特喵却反其道行之，不是找shi么？所以在我这个模型里，由于残差$\epsilon$是固定存在的，前面的数据在估计残差的分布时具有很大的贡献，意味着我的模型里残差的估计更准确。

好，接下来看第一问，我特么……2018年？！你的数据从2000年到2016年，你让我预测2018年？请问2018年在这个区间内么？讲过无数次了，回归线不！能！外！延！你要估计2000年到2016年间任意一个点都可以，但2000年前和2016年后的你就不能去估计，之前的题目可能数据还好看点，不能外延的教训不够深刻，但这个数据很有意思，这里你们都看到了，2009到2010间有个巨大的断层，好，你要我预测2018年的情况，我就问你一句，你怎么保证2017和2018不会再来一次类似的断层？！

第二问，前面都说过了，模型2就是扯淡，而且不管怎么回归，都不能预测2018年，那这个问题还做个屁啊？！

战巡

7、        2018年全国卷III理科18/文科18


出题的你是搞笑吧？你不觉得第一问已经包含后面了么？那种方式效率更高，你难道不要做检验？你难道看一眼就敢下结论？结果特喵下面就是检验，你难道不觉得应该合为一问么？如果出题的你敢直接比较一下两边的均值就下结论，劳资会再次打断你的狗腿！

好，先不说这些了，看第二问，我实在是没搞清楚这样做的意义，首先，考场上让人去数数算中位数，本身就很不厚道，这种事特喵就应该是电脑的事，人脑本来就不擅长干这个，实际应用中也没人会去干，其次，你弄个中位数干什么，有多大意思？你想做非参检验么？有这个必要么？想比较两边的差异，直接做个t检验不就完事了？

非参就非参吧，到第三问，你特喵居然用皮尔逊卡方检验？！我不能说你一定是错，但你还能再不专业点么？！检验两总体中位数是否相同，有曼-惠特尼U检验（Mann-Whitney test），你就不能好好用么？其次，皮尔逊卡方的符号是$\chi^2$不是$K$，说过特喵多少次了？！打个希腊字母很难么？！

战巡

8、        2018年天津卷理科16/文科18
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为$24,16,16$.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查。
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,或从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查。

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望:

(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率

出题的逗逼你是不是觉得不管多大的总体都要抽样？我问你，24、16这些是很大的数字么？三个部门加在一起才56人，这是总！体！啊，人家其他问题光样本就成百上千，总体数以万记，抽样才有意义，你特喵56人的总体还抽毛线样？全部分析了不行？你个破单位还缺那点钱？

        还什么分层抽样，总共才7个，你一个部门抽两三个人，你不知道误差多大？！

        第二问更搞笑，7个人已经很少了，你特喵还要在里面抽样，我看不是那些员工需要检查，而是出题的特么脑袋需要检查！

isee

回复 5# 战巡


5#学习下，这种高考题实在是太多，只在这高考这种环境之下我才会解（因为有标答）。

zhcosin

这个必须要顶啊。

敬畏数学

统计大师能否写篇历史长点的文章，好好学习一下！好文太棒了，好好品味。。。。

realnumber

感觉楼主做得很有意义，作为一线教师的我，表示本来觉得没什么异常的，照本宣课，好在浙江高中数学统计方面越来越少了.

游客

浙江教材问题多得是，都乱搞的。

shidilin

以前在人教论坛，高考结束后的两大看点：一是楼主逢考必怼的概统，另一个自然是kuing playing 高考；
这几年少了二位大侠的两道硬菜，感觉高考后很乏味呢！
楼主重出江湖喽！

战巡

回复 12# 敬畏数学

往年的在这里都有
blog.sina.com.cn/u/2060010007

走走看看

大师，是否可以出一些高中生能做的又有实际操作可能的概率统计题呢？这样方便高考出题者参考。

敬畏数学

刚才又细读这篇文章，感触很多！但由于专业知识限制，不能发表过多想法。确实这些东西应该慎思！否则容易误导一片。。。。。