含参整式函数的最值

力工

已知$f(x)=\lambda (x^3-4x^2+5x-5)+x^2-x+3$,
$g(x)=\lambda (-x^3-x-3)+x^3-x^2+2x-1$,求证：对任意$\lambda \in(0,1)$,$\max(\abs {f(x)},\abs {g(x)})>\frac{10}{7}$.

题目丑陋，求个自然的思路。
改正了k版大神指出的输入问题。

kuing

`\abs{f(x)}` 要写 \abs{f(x)}，你写 \abs f(x) 它就只对 f 加竖线，结果就是现在的 `\abs f(x)`😅
另外，max 前面加 \ 就是直立体 `\max` 正规一点。（与 sin cos 等一样）

力工

kuing 发表于 2024-10-26 16:33
`\abs{f(x)}` 要写 \abs{f(x)}，你写 \abs f(x) 它就只对 f 加竖线，结果就是现在的 `\abs f(x)`😅
另外，m ...

大佬们没兴趣玩玩这个题？

kuing

不小心证出了加强式😊

由 `\lambda\in(0,1)` 及绝对值不等式有
\begin{align*}
\max\{\abs{f(x)},\abs{g(x)}\}&\geqslant(1-\lambda)\abs{f(x)}+\lambda\abs{g(x)}\\
&\geqslant\abs{(1-\lambda)f(x)-\lambda g(x)},
\end{align*}
代入计算得
\begin{align*}
(1-\lambda)f(x)-\lambda g(x)&=x(x-1)(1-2\lambda)^2+3-7\lambda+8\lambda^2\\
&\geqslant-\frac14(1-2\lambda)^2+3-7\lambda+8\lambda^2\\
&=\frac17(3-7\lambda)^2+\frac{41}{28}\\
&\geqslant\frac{41}{28},
\end{align*}
于是便得到 `\max\{\abs{f(x)},\abs{g(x)}\}\geqslant41/28`，在数值上 `41/28` 当然是大于 `10/7` 了。