三参数问题

力工

参数多了理不清，求个明白解法。
已知$a>1$,存在常数$b$对任意的$x\in[a,2a]$都有$y\in[3a,3a^2]$使$y=2a|x^2-4x+3|+b$,求$a$的范围.
$ans:[\frac{11-\sqrt{33}}{4},\frac{11}{8}]\cup[\frac{5}{3},\frac{19+\sqrt{73}}{16}]$