p=2特殊情况, $ℤ_p$存在平方根的条件

hbghlyj

Example 2.1. $f(X) = X^2 - 2$ 模 7 有一个单根，因此 $\mathbb{Z}_7$ 包含 2 的平方根。

这里有一个更一般的命题：

Corollary 3.16. 设 $\alpha \in \mathbb{Q}_p$ 且 $|\alpha|_p=1$。当 $p \neq 2$ 时，$\alpha$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 中的平方数当且仅当它是模 $p$ 的平方数。当 $p=2$ 时，$\alpha$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 中的平方数当且仅当 $\alpha \equiv 1\pmod 8$。

以上p=2是特殊情况，是因为$x^2-\alpha$的导数$2x$模2恒为0.
但如何证明这种情况？p=2时，$\alpha$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 中的平方数为什么能推出 $\alpha \equiv 1\pmod 8$？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-11-3 15:38
p=2时，$\alpha$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 中的平方数为什么能推出 $\alpha \equiv 1\pmod 8$？

这个方向比较容易推导：
设$\alpha=x^2,x\inQ_2$。因为$|\alpha|_2=1$, 所以$\alpha\equiv1\pmod2$, 所以$x\equiv1\pmod2$,
所以$x\equiv1,3,5,7\pmod8$,
而$1^2,3^2,5^2,7^2\equiv1\pmod8$,
所以$\alpha=x^2\equiv1\pmod8$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-11-3 15:38
p=2时，$\alpha$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 中的平方数为什么能推出 $\alpha \equiv 1\pmod 8$？

那么，反方向怎么推？已知 $\alpha \equiv 1\pmod 8$ 为什么能推出 $\alpha$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 中的平方数？

我明白了：令$f(x)=\frac{\alpha-(2x+1)^2}4=\frac{\alpha-1}4-x(x+1)\inZ_2[x]$
$f'(x)=-2x-1$，故$|f'(x)|_2=1$.
对$a_0=1$使用Hensel's lemma就得出$f(x)=0$在$\mathbb{Z}_2$中有解了，即$\alpha=(2x+1)^2$。