球面上的方形移动 $c(h) = ψ_{-h}ϕ_{-h}ψ_hϕ_h(0)$

hbghlyj

设$p$为单位球面上的一点。设$h$为一个小的正数。通过以下步骤：

(1) 从$p$（沿着经度增加方向）东移动距离$h$；

(2) 然后（沿着纬度增加方向）北移动距离$h$；

(3) 然后（沿着经度增加方向反向）西移动距离$h$；

(4) 然后（沿着纬度增加方向反向）南移动距离$h$。

设 $p$ 的位移为 $c(h)$，求$c'(0),c''(0)$

hbghlyj

若$p$在赤道上。緯度0度。$c(h)=\frac{h}{\cos(h)}-h$，则$c'(0)=c''(0)=0$.

问：一般情况也是$c'(0)=c''(0)=0$吗？

Aluminiumor

hbghlyj 发表于 2024-11-9 19:26
先设$p$在赤道上。緯度0度。$c(h)=|h-h\cos(h)|$，故$c'(0)=c''(0)=0$.
问：一般情况也是$c'(0)=c''(0)=0$ ...

我认为 $p$ 在赤道上时，$c(h)=\frac{h}{\cos h}-h$，此时也满足 $c'(0)=c''(0)=0$
若纬度为 $\theta\neq0$，我认为 $c(h)=h\left(\dfrac{\cos\theta}{\cos(h+\theta)}-1\right)$，此时 $c'(0)=0,c''(0)\neq0$
若有错误还请纠正。

hbghlyj

Aluminiumor 发表于 2024-11-9 12:28
若纬度为 $\theta\neq0$，我认为 $c(h)=h\left(\dfrac{\cos\theta}{\cos(h+\theta)}-1\right)$，此时 $c'(0)=0,c''(0)\neq0$

确实！
按WolframAlpha，
$$c''(0)=\lim _{h \to 0} \frac{\partial^2}{\partial h^2}\left(h\left(\frac{\cos (\theta)}{\cos (h+\theta)}-1\right)\right)=2 \tan (\theta)$$

hbghlyj

设 $X=\dfrac{\partial}{\partial\theta}$ 和 $Y=\dfrac1{\cos\theta}\dfrac{\partial}{\partial\phi}$ 为沿经线和纬线的单位切向量场。这两个向量场的李括号为
$$[Y,X] = \dfrac1{\cos\theta}\dfrac{\partial}{\partial\phi}\left(\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)-\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\dfrac1{\cos\theta}\dfrac{\partial}{\partial\phi}\right)=-\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\dfrac1{\cos\theta}\right)\cdot\dfrac{\partial}{\partial\phi}=-\tan\theta\dfrac1{\cos\theta}\dfrac{\partial}{\partial\phi}=-\tan(\theta)Y,$$
即
$$c''(0)=2[Y,X]_p=-2\tan(\theta)Y$$
这样同时求出了$c''(0)$的长度 $2\tan(\theta)$ 和 方向$-Y$（沿纬线）西。

hbghlyj

设$p$为单位球面上的一点。设$h$为一个小的正数。通过以下步骤：

(1) 从$p$东北移动距离$h$；

(2) 然后北移动距离$h$；

(3) 然后西南移动距离$h$；

(4) 然后南移动距离$h$。

设 $p$ 的位移为 $c(h)$，求$c'(0),c''(0)$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-11-9 13:22
改变$X$后，怎么求$c'(0),c''(0)$？
(1) 从$p$东北移动距离$h$；

“东北”方向的单位向量场应该是$\frac{X+Y}{\sqrt2}$吧
根据Lie bracket的线性和$[X,X]=0$性质有：
$$[\tfrac{X+Y}{\sqrt2},X] =\frac1{\sqrt2}[Y,X]=-\frac1{\sqrt2}\tan(\theta)Y$$
即
$$c''(0)=2[\tfrac{X+Y}{\sqrt2},X]_p=-\sqrt2\tan(\theta)Y$$
这样同时求出了$c''(0)$的长度 $\sqrt2\tan(\theta)$ 和 方向$-Y$（沿纬线）西。

为什么轻易就得到了呢？不知道是否正确呢请求验证！

hbghlyj

Aluminiumor 发表于 2024-11-9 12:28
此时 $c'(0)=0$

一般的曲面任意点 $p$ 满足 $c'(0)=0,c''(0)=2[X,Y]_p$.
Spivak《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry第三版》第一卷 第159页 第5章Vector Fields and Differential Equations

hbghlyj

我在书中读到了证明，初看发现它真是太可怕了！细看发现它只是一个聪明而漫长的计算！只要你知道如何求导并且足够耐心，就会理解证明。
它不是很有启发性，也没有使用任何先进的技术。

en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula
${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{240}}\left([X,[Y,[X,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{720}}\left([X,[Y,[X,[X,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{1440}}\left([X,[Y,[Y,[Y,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[X,[X,Y]]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}}$

hbghlyj

上面说明了$c'(0)=0$并说明了$c''(0)$是$[X,Y]_p$的两倍，但证明$[X,Y]_p\in M_p$需要用到第161页的结论：
曲线$c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$满足$c'(0)=0$，则二阶导数$c''$所定义的$c^{\prime \prime}(0)(f)=(f \circ c)^{\prime \prime}(0)$属于$M_p$，这个的证明很简单，见Talk Flows-Olivetti.pdf最后一页