有 n 个实根的多项式的根位于区间内

hbghlyj

假设 $\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ 是一个有 n 个实根的多项式，那么它的根位于端点为$-{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\pm {\frac {n-1}{na_{n}}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n}a_{n-2}}}$的区间内。

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例如，多项式 $x^{4}+5x^{3}+5x^{2}-5x-6=(x+3)(x+2)(x+1)(x-1)$ 的根满足 $-3.8118<-{\frac {5}{4}}-{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{3}}}\leq x\leq -{\frac {5}{4}}+{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{3}}}<1.3118.$

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能否使用 @abababa的帖子 中的结论

设$f(x)$是首一实系数$n$次多项式，且$n$个根都是实根，求证实数$b$是$f(x)$的实根上界的充要条件是：$f(b),f'(b),\cdots,f^{(n)}(b)>0$。

取$b=-{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}+{\frac {n-1}{na_{n}}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n}a_{n-2}}}$吗