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本帖最后由 hbghlyj 于 2023-8-29 09:15 编辑 对于正整数$n$,存在关于$y$为$n$次的二元不可约多项式$f(x,y)$,使得$y$可以取任意实数,且当$y$取任意实数时,$f(x,y)=0$关于$x$总有2个实根?(重根按重数计算)(从图像来说就是,这个曲线和任意与$x$轴平行的直线的交点个数为2)
证:对于任意正整数$n$,取$f(x,y)=xy^n-x^2+1$,那么$f(x,y)=0⇔y^n=x-\frac1x$.显然,$y$可以取任意实数,且当$y$取任意实数时,$x$总有两个实根.
如果把2次改成3次呢?即:
对于所有正整数$n$,存在关于$y$为$n$次的二元不可约多项式$f(x,y)$,使得$y$可以取任意实数,且当$y$取任意实数时,$f(x,y)=0$关于$x$总有3个实根?(重根按重数计算)
证:对于任意正整数$n$,取$f(x,y)=x(x-2)(y^n-x)+x-1$,那么$f(x,y)=0⇔y^n=x-\frac{x-1}{x(x-2)}$.显然,$y$可以取任意实数,且当$y$取任意实数时,$x$总有两个实根.
那么我们已经知道一般情况了...总有$k$个实根的多项式可以从$y^n=x-\prod_{i=1}^{2k-1}(x-i+1)^{(-1)^i}$通分得到...
\[(y^n-x)\prod_{i=0}^{k-1}(x-2i)+\prod_{i=0}^{k-2}(x-2i-1)=0\] |
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