双线性插值

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en.wikipedia.org/wiki/Bilinear_interpolation
双线性插值是对线性插值在二维直角网格上的扩展，用于对双变量函数（例如 x 和 y）进行插值。其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

如果选择一个坐标系统使得 $f$ 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为
$$f(x,y)\approx f(0,0)\,(1-x)(1-y)+f(1,0)\,x(1-y)+f(0,1)\,(1-x)y+f(1,1)xy.$$

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定义一参数曲面, 其中 $a_0, \ldots, c_3$ 为常数.
\[\tag1\label1
\left\{\begin{array}{l}
x=a_0+a_1 s+a_2 t+a_3 s t \\
y=b_0+b_1 s+b_2 t+b_3 s t \\
z=c_0+c_1 s+c_2 t+c_3 s t
\end{array}\right.
\]
若上述曲面不是平面. 如何求出该曲面的隐式方程 即确定多项式 $P(x, y, z)$ 使得 $P(x, y, z)=0$ 当且仅当以 $s, t$ 为变元的方程组\eqref{1}有解.

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