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其实是前几天的聊天记录了，也记录一下吧。
v6mm131 2025/4/9 14:21
将 5 个红球、5 个黄球和 10 个黑球随机放入 20 个盒子中（一盒放一球）。
现随机先后打开每个盒子，直到打开所有盒子结束，则红球最先被全部开出的概率为？
（原题还有图，但显然多余，这里我精简了）
v6 表示参考答案看不懂：
记“最后打开的盒子中的球是黄球”为事件 `B`，“最后打开的盒子中的球是黑球”为事件 `C`。
显然事件 `B` 与 `C` 互斥，记“红球最先全部开出”为事件 `A`，则 `A=BA+CA`。
当事件 `B` 发生时，只需考虑装红球、黑球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黄球，
则 `P(BA)=P(B)P(A|B)=\frac5{20}\times\frac{10}{15}=\frac16`。
当事件 `C` 发生时，只需考虑装有红球、黄球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黑球，
则 `P(CA)=P(C)P(A|C)=\frac{10}{20}\times\frac5{10}=\frac14`，所以 `P(A)=\frac16+\frac14=\frac5{12}`。
我的理解：
kuing 2025/4/9 17:00
`P(B)`：最后一个是黄球，就是 `5/20`；
`P(A|B)`：在最后一个是黄球的前提下，红球先开完的概率。
既然最后一个是黄球，那所有黄球都当它不存在，只看红和黑，相当于：15 个盒，红 5 黑 10，最后开黑，所以是 `10/15`。
因此 `P(BA)=P(B)P(A|B)=5/20\times10/15=1/6`；
另一种情况同理。
v6mm131 2025/4/9 17:07
“P(B)：最后一个是黄球，就是 5/20”
这个是排列数计算的结果还是直接出的结果
kuing 2025/4/9 17:08
一共20球，5个黄，最后一个开黄，不就是 5/20 吗
相当于从 20 个球随机抽一球，是黄球
后来我还写了一个更详细的表达方法，不过现在看感觉也不咋嘀。
还不如换个角度，用排列组合计数来讲，或许更好理解。
不妨将 20 个空盒排成一列，放入球，打开时依次打开。
满足条件有两种情况：
（1）红最先开完、再到黑开完、最后黄开完。
那就先放黄球，必须放一个黄到最后，其余 4 个任意：`C_{19}^4`；①
在剩余的 15 个空盒放黑球，必须放一个黑到最后一个空，其余 9 个任意：`C_{14}^9`；②
剩下的就放红。
而如果随便乱放，那①就变成 `C_{20}^5`，②就变成 `C_{15}^{10}`，
所以这种情况发生的概率就是 `C_{19}^4/C_{20}^5\times C_{14}^9/C_{15}^{10}`，也就是 `5/20\times10/15`；
（2）红最先开完、再到黄开完、最后黑开完。
同理，略。
PS：
kuing 2025/4/9 17:48
概率题除了本身难，自己想明白了写出来也是另一重困难😌 |
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