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楼主 |
kuing
发表于 2023-1-16 22:05
网址：zhihu.com/question/579003379
标题：如何证明或证伪该式？
n取2时两边等于π，取3时两边等于2π比根号3，取4时两边等于根号2π，感觉这式子是对的
至于式子是怎么来的，源于我算积分的时候发现自己算的结果跟答案不一样，我算出来的是右边，答案给的是左边，代入几个数发现两边还相等，就有了这个式子
我的回答：
方法一（纯三角变换）：易证恒等式
\[\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{2k\pi}n+\varphi\right)=0,\quad(*)\]
可对右边化简，有
\begin{align*}
\RHS&=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\pi+\frac\pi n-\frac{2k\pi}n\right)\sin\frac{2k\pi-\pi}n\\
&=-\frac{2\pi}{n^2}\sum_{k=1}^nk\sin\frac{2k\pi-\pi}n,
\end{align*}
下面记
\[A=\sum_{k=1}^nk\sin\frac{2k\pi-\pi}n,\]
由积化和差及式 (*)，有
\begin{align*}
2A\cos\frac{2\pi}n&=\sum_{k=1}^n2k\sin\frac{2k\pi-\pi}n\cos\frac{2\pi}n\\
&=\sum_{k=1}^nk\sin\frac{2k\pi-3\pi}n+\sum_{k=1}^nk\sin\frac{2k\pi+\pi}n\\
&=\sum_{k=1}^n(k-1)\sin\frac{2k\pi-3\pi}n+\sum_{k=1}^n(k+1)\sin\frac{2k\pi+\pi}n\quad\text{（由式 (*) 得出）}\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}k\sin\frac{2k\pi-\pi}n+\sum_{k=2}^{n+1}k\sin\frac{2k\pi-\pi}n\quad\text{（留意上下限的变化）}\\
&=\left(A-n\sin\frac{2n\pi-\pi}n\right)+\left(A-\sin\frac{2\pi-\pi}n+(n+1)\sin\frac{2(n+1)\pi-\pi}n\right)\\
&=2A+2n\sin\frac\pi n,
\end{align*}
即
\[A\cos\frac{2\pi}n=A+n\sin\frac\pi n,\]
解得
\[A=\frac{n\sin\frac\pi n}{\cos\frac{2\pi}n-1}=-\frac n2\csc\frac\pi n,\]
代回去即得 $\RHS=\frac\pi n\csc\frac\pi n=\LHS$ ，得证。
方法二：依旧计算上面的 `A`。为方便起见记 $\varphi=\pi/n$ ，令
\[f(x)=\sum_{k=1}^n\cos(2kx-\varphi),\]
则
\[f'(x)=-2\sum_{k=1}^nk\sin(2kx-\varphi)\implies A=-\frac12f'(\varphi),\]
又玩积化和差，有
\begin{align*}
f(x)\sin x&=\sum_{k=1}^n\cos(2kx-\varphi)\sin x\\
&=\sum_{k=1}^n\frac{\sin\bigl((2k+1)x-\varphi\bigr)-\sin\bigl((2k-1)x-\varphi\bigr)}2\\
&=\frac{\sin\bigl((2n+1)x-\varphi\bigr)-\sin(x-\varphi)}2,\quad(**)
\end{align*}
代 $x=\varphi$ 得
\[f(\varphi)\sin\varphi=\frac{\sin2n\varphi}2=\frac{\sin2\pi}2=0\implies f(\varphi)=0,\]
再对式 (**) 两边求导，有
\[f'(x)\sin x+f(x)\cos x=\frac{(2n+1)\cos\bigl((2n+1)x-\varphi\bigr)-\cos(x-\varphi)}2,\]
再代 $x=\varphi$ 得
\[f'(\varphi)\sin\varphi=\frac{(2n+1)\cos(2n\varphi)-1}2=n,\]
所以
\[A=-\frac12f'(\varphi)=-\frac n2\csc\varphi,\]
结果与方法一相同。
编辑于 2023-01-17 00:11 |
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hbghlyj
发表于 2023-10-1 11:04
你们试试看。
