$\Bbb C$的不可数子集必有极限点

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/2721854

实际上$S$的极限点必须属于$S$。假设 $S$ 中的任何点 $s$ 都不是 $S$ 的极限点。
那么对于每个 $s \in S$ 有 $r_s>0$ 使得 $B(s,r_s)\cap S =\{s\}\ldots\ldots$(a)

取一个稠密的 $\mathbb{C}$ 的可数子集，如 $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$。
对每个 $s\in S$ 有 $q_s \in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} $ 使 $ q_s \in B\Bigl(s,\dfrac{r_s}{2}\Bigr)$。
考虑映射 $T:S \to \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ ，其中 $T(s) = q_s$.
若 $T$ 不是单射，则在 $S$ 中存在两个点 $s_1 \neq s_2$ 使 $q_{s_1}=q_{s_2}$。所以 $q_{s_2} \in B\Bigl(s_1,\dfrac{r_{s_1}}{2}\Bigr)\cap B\Bigl(s_2,\dfrac{r_{s_2}}{2}\Bigr)$。
应用三角不等式，得到$$|s_1-s_2| \leq |s_1-q_{s_2}| + |s_2 - q_{s_2}| < \frac{r_{s_1}}{2} +\frac{r_{s_2}}{2}\tag{*}$$
现在有两种情况：
1) $r_{s_1}> r_{s_2}$ 从 (*) 得到 $|s_1-s_2| < r_{s_1}$ 等价于 $B(s_1,r_{s_1})\cap S \supseteq \{s_1,s_2\}$.
2) $r_{s_2}> r_{s_1}$ 同理 $B(s_2,r_{s_2})\cap S \supseteq \{s_1,s_2\}$.
两种情况都与(a)矛盾。所以 $T$ 是单射，这意味着 $S$ 是可数的，矛盾。所以 $S$ 至少有一个极限点！

hbghlyj

由上面的结论和Identity Theorem得出
Suppose that an entire function $f$ has uncountably many zeros. Then $f=0$.

math.stackexchange.com/questions/1334557

Czhang271828

感觉链接里把简单问题复杂化了.

命题 $\mathbb R^2$ 中不可数子集一定有聚点.

证明 注意到 $\bigcup_{i,j\in\mathbb Z}[i,i+1)\times [j,j+1)=\mathbb R^2$. 显然至少有一个 $[i,i+1)\times [j,j+1)$ 包含 $S$ 中无穷个点 (若不然, 则 $S$ 至多可数, 矛盾).
注意到紧度量空间 $[i,i+1]\times [j,j+1]$ 中含有 $S$ 中无穷多点, 故有聚点.

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/310113

planetmath.org/limitpointsofuncountablesubsetsofrn(推论:有无穷多极限点)