$U$为闭集, 对于所有闭集$V$, $U+V$为闭集, 则$U$为有限集.

hbghlyj

发表于 2023-1-30
对 $\mathbb R^n$ 上的通常拓扑, $U$为闭集, 对于所有闭集$V$, $U+V=\{u+v:u\in U,v\in V\}$为闭集, 则$U$为有限集.

Czhang271828

$U$ 未必是有限集. 一些反例: $U$ 是紧致集(欧式空间中的有界闭集合), $U$ 是有限个超平面围成的区域(包括全集 $\mathbb R^n$).

同时存在不满足题设的单连通闭集 $U$. 例如 $xy\geq 1$ ($x>0$) 的图像 $\Gamma$ 是闭集, 记 $\Gamma$ 关于 $x$ 轴的对称 $\Gamma'$. $\Gamma+\Gamma'$ 为开集.

--------施工中----------

hbghlyj

\(U=ℤ, V=\left\{\frac{1}{n}+ n : n=2, 3, … \right\}\)
\(\frac{1}{n}=(- n) + \left( \frac{1}{n}+ n \right)∈U + V\implies0∈\overline{U+V}\setminus(U+V)\implies U+V\)非闭集