双叶双曲面∼椭球，双叶双曲面∼椭圆抛物面，单叶双曲面∼双曲抛物面

hbghlyj

$\mathbb RP^3$中，证明：以下3组，存在射影变换将2个曲面互变。

• $- x^2 - y^2 + z^2=t^2$与$ x^2 +y^2 + z^2=t^2$。
  
• $- x^2 - y^2 + z^2=t^2$与$x^2+y^2=tz$。
  
  
  
• $x^2+y^2-z^2=t^2$与$xy=tz$。
  
  

hbghlyj

这3组都不难写出实射影变换将2个曲面互变：

• $(x,y,z,t)\mapsto(x,y,t,z)$
• $(x,y,z,t)\mapsto(x,y,\frac{z-t}2,\frac{z+t}2)$
• $(x,y,z,t)\mapsto(\frac{x-y}2,\frac{x+y}2,\frac{z-t}2,\frac{z+t}2)$
  

hbghlyj

从 3个特征值 看：
如果均为正，则为椭球；
两个正数和一个负数给出单叶双曲面；
一个正数和两个负数给出双叶双曲面。
如果一个或多个特征值$=0$，就是抛物面、锥/柱面甚至一对平面。

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锥面、柱面 显然是射影等价的，单独分作一类。
一对平面 相交和平行的情况 显然是射影等价的，再单独分一类。
剩下的二次曲面，按 射影等价 应该是分为两类：

• 椭球、双叶双曲面、椭圆抛物面
• 单叶双曲面、双曲抛物面
  

第一类不存在直母线，第二类存在直母线👌
Normal form of projective quadrics
We see that projective transformations don't mix Gaussian curvatures of different sign. This is true for general surfaces.
负高斯曲率，则存在直母线。