本帖最后由 isee 于 2014-6-4 00:09 编辑 如图在$\odot O$中，弦$GH$的中点为$O_1$，过$O_1$任作两条弦$MN$、$PQ$，$PN$、$MQ$分别交$GH$于$A$，$B$，则$AO_1=O_1B$。
没错，将字母改了一些，就是不想让秒秒钟的搜索把美妙的证题给“毁”了
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蝴蝶定理古今谈为转载 by 三角演义
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蝴蝶定理古今谈
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蝴蝶定理(Butterfly theorem)，是古典欧氏平面几何中最精彩的结果之一，原本是一个著名的几何难题。该定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年英国的一份通俗杂志《男士日记》第39-40页上；而“蝴蝶定理”这个名称第一次出现在《美国数学月刊》1944年2月号。由于题目中的几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，因此得名。
蝴蝶定理的证法很多，有综合法、三角法、面积法、不等式法、解析法、复数法，反证法等。问题登出的当年，英国一位自学成才的中学数学教师W.G.霍纳给出了第一个繁琐的证明；至于初等的证法，在国外的有关资料中，一般认为是由一位中学教师斯特温(Steven)首先得到的，它用的是面积法；另一个早期的证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出；还有一种证明出现在M.布兰德（Miles Bland）的《几何问题》(1827年)一书中；最为简洁的证法来自射影几何，由英国的J·开世在“A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid”(中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆，1956)中给出，只有一句话，用的是线束的交比；1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何给出的一种比较简单的证法。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录教授以“平面几何中的名题及其妙解”为题，向国内介绍了蝴蝶定理；1988年，汪江松、黄家礼二教授在《几何明珠》一书的第21章，对“蝴蝶定理”进行了全面综述，介绍了蝴蝶定理的逆定理及各种引申和推广；1991年，张景中院士的力作“蝴蝶定理的新故事”（载于《中学数学》1991年第1期）以面积比和线段比为工具，与斯特温的证法一脉相承，别开生面，给出了蝴蝶定理的推广和变异，揭示了该定理与著名的Pascal定理的深刻联系，令人耳目一新；2008年，本版（东方论坛）版主叶中豪老师在“东方论坛”发帖“蝴蝶定理的本质”，与陈殿林老师就蝴蝶定理的对合本质展开讨论：从射影几何的观点看，蝴蝶定理实质就是迪沙格(G．Desargues，1591—1661)对合定理的推广。
二十多年来，我国的数学专家学者在各级数学专业刊物上发文百余篇，沿不同途径、从不同角度对蝴蝶定理进行了深入、广泛、细致的探讨，从此，这个奇异而优美的蝴蝶定理就像一只色彩斑斓的蝴蝶，在九百六十万平方公里的数学书刊上翩翩飞舞……
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经典纯几何证明
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英国W.G Horner “繁琐”的证法，最早的证法。
证法1
$O_1$是$GH$的中点，连接$OO_1$，则$OO_1 \perp GH$，为证明$O_1A=O_1B$，可以连接$OA,OB$，这样只需要证明$\triangle OO_1A \cong \triangle OO_1B \iff \angle O_1OP =\angle O_1O M$。
另一方面，过点$O$分别作$PN$，$MQ$的垂线，垂足分别为$C$，$D$，则得两组四点共圆$(O_1,A,C,O)$；$(O_1,O,D,B)$，这样一来$\angle O_1OA =\angle O_1OB \iff \angle O_1CA=O_1DB$。
再由$\triangle PNO_1 \sim \triangle MQO_1 \Longrightarrow \triangle PCO_1 \sim \triangle MO_1D $，从而知命题得证。
这个是我最早见到的纯几何证明，我觉得相对于其他初等证明，这个朴实而简洁。
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分割线
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而在许多书籍里有轴对称的方法，就是我国严济慈在20世纪30年代在《几何证题法》给出的。
证法2
考虑圆的对称性，作出$O_1Q$关于圆的对称轴$O_1O$的对称图形$O_1Q'$，如图标记四个角为 $\alpha$，连接$AQ'$，只需证$\triangle O_1BQ \cong \triangle O_1AQ' \iff \angle O_1Q'A=\angle O_1NA \iff O_1,A,N,Q'$四点共圆。
而$\angle PQQ'(=\alpha)+\angle PNQ(=\beta)=180^\circ$，即四点$O_1,A,N,Q'$共圆成立。得证。
此证引起我注意的是在人教论坛秋风树林所给的，此前完全忽视了。另外，在有些书籍里说此法过于巧合，而给出面积等证法，这个以后谈；我倒是觉得颇有韵味，极简约。
而此法和 Gentleman's Diary 中的第二个证法，即 Richard Taylor 的方法，很相似。
证法3
Taylor 证法，主要论证的地方还是轴对称。
作$\triangle O_1PA$的外接圆，与$\odot O$相交于点$M'$，连接$M’A$并延长交$\odot O$ 于$Q'$，连接$M'O_1$ 延长线交$\odot O$ 于$N'$。
此时依然看不出所以然来。其实呢是要证$\triangle M'O_1A \cong \triangle MO_1B \iff O_1N=O_1N' $。
先看由辅助线：$\angle Q'QP=\angle PM'A=\angle PO_1A \iff GH \sslash Q'Q$；
还有
\[\angle N'M'Q'=\angle O_1M'A=\angle O_1PA= \angle NMQ \\ \iff \wideparen{Q'N'}=\wideparen{QN} \\ \iff \wideparen{Q'N}=\wideparen{QN'} \\ \iff NN' \sslash Q'Q \sslash GH\]
（注：\wideparen Q'N' 表弧Q'N'，其它类似）
又$O_1O \perp GH $，这样一来，可以得到
$O_1N=O_1N' \Longrightarrow O_1M'=O_1M,\angle M'O_1A=\angle MO_1B \Longrightarrow \triangle M'O_1A \cong \triangle MO_1B$，命题得证。
回头一看，轴对称啊。 | 
Tesla35
发表于 2013-10-10 15:13
kuing
发表于 2013-10-23 11:46
