证明锐角三角形外心到三边距离之和等于 R+r

isee

源自知乎提问






题：如何证明锐角三角形外心到三边距离之和等于 R+r ？




在锐角 $\triangle ABC$ 中，则命题等价于 $R(\cos A+\cos B+\cos C)=R+r$.


而 $\frac 12(a+b+c)r=S_{\triangle ABC}$ .

另一方面， $$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OCA}.$$

即有

$$\frac 12(a+b+c)r=\frac 12R(a\cos A+b\cos B+c\cos C).$$

则需证

\begin{gather*} (a+b+c)(\cos A+\cos B+\cos C)=a+b+c+a\cos A+b\cos B+c\cos C\\[1em]  \iff (b+c)\cos A+(a+c)\cos B+(a+b)\cos C =a+b+c\\[1em]  \iff (b\cos A+a\cos B)+(c\cos B+b\cos C)+(a\cos C+c\cos A)=a+b+c\\[1ex] \end{gather*}


由第一余弦定理$b\cos A+a\cos B=c,$ $c\cos B+b\cos C=a,$ $a\cos C+c\cos A=b$ 知上式成立.

hbghlyj

Carnot's theorem (inradius, circumradius)

kuing

想出一个有趣的玩法。
\(
\newcommand\hu{\overparen}
\newcommand\pxsbx{/\mkern{-1mu}\overline{\quad\vphantom{\to}}\mkern{-25mu}\underline{\quad}\mkern{-1mu}/}
\)
首先证明一个结论：设 `D`, `E`, `F` 分别为 `\triangle ABC` 的外接圆上 `\hu{BC}`, `\hu{AC}`, `\hu{AB}` 的中点，外心和内心为 `O`, `I`，则有
\[\vv{OD}+\vv{OE}+\vv{OF}=\vv{OI}.\quad(*)\]

证明：设 `\vv{OD}+\vv{OE}+\vv{OF}=\vv{OP}`，作 `\pxsbx OEMF`，如上图，易证 `OM\px DA`，于是存在实数 `\lambda` 使 `\vv{OM}=\lambda\vv{DA}`，于是 `\vv{OP}=\vv{OD}+\vv{OM}=\vv{OD}+\lambda\vv{DA}`，即 `\vv{DP}=\lambda\vv{DA}`，因此点 `P` 在直线 `AD` 上，同理，`P` 也在直线 `BE` 及直线 `CF` 上，所以 `P` 只能是它们的交点，也就是内心 `I`，即得证。

据此，对式 (*) 两边平方，得
\[3R^2+2\sum\vv{OE}\cdot\vv{OF}=OI^2,\]
而 `\vv{OE}\cdot\vv{OF}=R^2\cos\angle EOF=R^2\cos(\pi-A)=-R^2\cos A`，上式化为
\[3R^2-2R^2(\cos A+\cos B+\cos C)=OI^2,\]
根据欧拉公式 `OI^2=R^2-2Rr` 上式就化为 `R(\cos A+\cos B+\cos C)=R+r`。

hbghlyj

kuing 发表于 2022-8-20 07:39
想出一个有趣的玩法。
\(
\newcommand\hu{\overparen}

因为$I$是$\triangle DEF$的垂心,所以$\vv{OD}+\vv{OE}+\vv{OF}=\vv{OI}.$

kuing

hbghlyj 发表于 2022-8-20 21:53
因为$I$是$\triangle DEF$的垂心,所以$\vv{OD}+\vv{OE}+\vv{OF}=\vv{OI}.$

是喔😃原来 (*) 这么简单就粗来了……还好没将 3# 发到知乎那边😁
我竟然没想起 `\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}=\vv{OH}`……

isee

kuing 发表于 2022-8-20 22:06
是喔😃原来 (*) 这么简单就粗来了……还好没将 3# 发到知乎那边😁
我竟然没想起 `\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC ...

哈哈哈，要求这么严格呢

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1752477
Consider a triangle $DEF$,the pedal triangle of the triangle $ABC$ such that $A-F-B$ and $B-D-C$ are collinear.
If $H$ is the incenter of $\triangle DEF$ and $R_1,R_2,R_3$ are the circumradii of the quadrilaterals $AFHE;BDHF;$ and $CEHD$ respectively,
then prove that$$R_1+R_2+R_3=R+r$$where $R$ is the circumradius and $r$ is the inradius of $\triangle ABC.$