在C处的切线平行于BO

hbghlyj

$A(-2,0),B(0,0)$
求证：曲线$(x^2+y^2) e^x=c$（$c$为常数）在其上任一点$C$的切线与$BO$平行，其中$O$为$\triangle ABC$的外心。

kuing

hbghlyj 发表于 2025-1-16 17:06
是否可以使用@kuing的回答所用的方法来证明呢

用常规方法就可以证了啊，不用速度分解。

曲线变形为
\[F(x,y)=x^2+y^2-ce^{-x}=0,\]
设 `C(x_0,y_0)`，则 `C` 处的切线斜率为
\[-\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}=-\frac{2x_0+ce^{-x_0}}{2y_0}=-\frac{2x_0+x_0^2+y_0^2}{2y_0}=-\frac{x_0}{y_0}\left(1+\frac{x_0}2\right)-\frac{y_0}2,\]
易知 `BC` 的垂直平分线的方程为
\[y-\frac{y_0}2=-\frac{x_0}{y_0}\left(x-\frac{x_0}2\right),\]
显然 `O` 在 `x=-1` 上，于是代入上式得
\[O\left(-1,\frac{x_0}{y_0}\left(1+\frac{x_0}2\right)+\frac{y_0}2\right),\]
与 `B` 的连线斜率正好与上面计算的切线斜率一样。