$\sum\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\geqslant2\sum ab-k$.

Tesla35

求最小的实数$k$,使得对于任意的$a,b,c,d\in\mathbf{R}$,有$\sum\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\geqslant2\sum ab-k$.
$\sum$表示轮换对称和.

kuing

就前天的帖子：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10081

PS、右边最好还是显式写出 `ab+bc+cd+da+ac+bd`，用 `\sum ab` 容易理解为 `ab+bc+cd+da`。

Tesla35

kuing 发表于 2023-1-12 20:05
就前天的帖子：https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10081

PS、右边最好还是 ...

hbghlyj

kuing 发表于 2023-1-12 13:05
PS、右边最好还是显式写出 `ab+bc+cd+da+ac+bd`，用 `\sum ab` 容易理解为 `ab+bc+cd+da`。

Schur函子由整数分拆索引，其描述如下。设R为交换环，E为R-模，λ为正整数n的一个分拆。设T为形状为λ的Young图表，从而用T的格子框标记n重直积$E × E × ... × E$的因子。考虑满足以下条件的R-模映射$ \varphi :E^{\times n}\to M $：

• $ \varphi $是多线性的，
• $ \varphi $在T的每列索引的变量中是交替的，即交换每列中任两个索引的变量后$\varphi$反号
• $ \varphi $满足一个交换条件，即如果$ I\subset \{1,2,\dots ,n\} $是T的第 $i$ 列的数字，则
  $$ \varphi (x)=\sum _{x'}\varphi (x') $$其中求和是对通过将I索引的元素与第$i-1$列中的任意$ |I| $个元素按顺序交换而获得的n元组$x'$进行的。

E在由λ索引的Schur函子的像为将这种$ \varphi $扩展到R-模映射$ \tilde {\varphi }:\mathbb {S} ^{\lambda }E\to M $的泛R-模$ \mathbb {S} ^{\lambda }E $

关于条件(3)对$ \varphi $的限制的一个例子，假设λ是分拆$ (2,2,1) $，且图表T为

取$ I=\{4,5\} $（即T的第二列的数字），将 $I$ 与第1列的任两个元素交换得

$$ \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{4},x_{5},x_{3},x_{1},x_{2})+\varphi (x_{4},x_{2},x_{5},x_{1},x_{3})+\varphi (x_{1},x_{4},x_{5},x_{2},x_{3}), $$
而如果$ I=\{5\} $，将 $I$ 与第1列的任一个元素交换得

$$ \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{5},x_{2},x_{3},x_{4},x_{1})+\varphi (x_{1},x_{5},x_{3},x_{4},x_{2})+\varphi (x_{1},x_{2},x_{5},x_{4},x_{3}). $$

hbghlyj

示例  
固定一个特征为零的域上的向量空间 \( V \)。我们将分拆和对应的Young图表联系起来。以下描述成立：

• 对于分拆 \( \lambda = (n) \)，Schur函子 \( \mathbb{S}^\lambda(V) = \mathrm{Sym}^n(V) \)。  
• 对于分拆 \( \lambda = (1, \ldots, 1) \)（重复 \( n \) 次），Schur函子 \( \mathbb{S}^\lambda(V) = \Lambda^n(V) \)。  
• 对于分拆 \( \lambda = (2, 1) \)，Schur函子 \( \mathbb{S}^\lambda(V) \) 是外幂的余乘法 \( \Lambda^3(V) \to \Lambda^2(V) \otimes V \) 的余核。  
• 对于分拆 \( \lambda = (2, 2) \)，Schur函子 \( \mathbb{S}^\lambda(V) \) 是 \( \Lambda^2(V) \otimes \Lambda^2(V) \) 的商，去掉两个映射的像。一个是组合 \( \Lambda^3(V) \otimes V \to \Lambda^2(V) \otimes V \otimes V \to \Lambda^2(V) \otimes \Lambda^2(V) \)，其中第一个映射是沿第一个坐标的余乘法。另一个映射是余乘法 \( \Lambda^4(V) \to \Lambda^2(V) \otimes \Lambda^2(V) \)。  
• 对于分拆 \( \lambda = (n, 1, \ldots, 1) \)，其中1重复 \( m \) 次，Schur函子 \( \mathbb{S}^\lambda(V) \) 是 \( \Lambda^n(V) \otimes \mathrm{Sym}^m(V) \) 的商，去掉外幂的余乘法和对称幂的乘法组合的像：
  \[
  \Lambda^{n+1}(V) \otimes \mathrm{Sym}^{m-1}(V) \xrightarrow{\Delta \otimes \mathrm{id}} \Lambda^n(V) \otimes V \otimes \mathrm{Sym}^{m-1}(V) \xrightarrow{\mathrm{id} \otimes \cdot} \Lambda^n(V) \otimes \mathrm{Sym}^m(V).
  \]