看看这题

周亚明

周亚明

请大神看看这个题，通项可求，然后怎么办

kuing

昨天才发过：forum.php?mod=viewthread&tid=10522

周亚明

谢谢kk,看见了。

战巡

从通项硬来也是可以的
很容易得到
\[a_n=\frac{1}{2}[(2-\sqrt{3})^n+(2+\sqrt{3})^n]\]
\[(2-\sqrt{3})^n=2^n-C_n^12^{n-1}\sqrt{3}+...+C_n^{n-1}\cdot 2(-\sqrt{3})^{n-1}+(-\sqrt{3})^n\]
\[(2+\sqrt{3})^n=2^n+C_n^12^{n-1}\sqrt{3}+...+C_n^{n-1}\cdot2(\sqrt{3})^{n-1}+(\sqrt{3})^n\]
$n$为偶数时
\[(2-\sqrt{3})^n+(2+\sqrt{3})^n=2\cdot2^n+2C_n^2\cdot 2^{n-2}(\sqrt{3})^{2}+...+2C_n^{n-2}\cdot 2^2\cdot(\sqrt{3})^{n-2}+2(\sqrt{3})^n\]
\[=2[2^n+C_n^2\cdot 2^{n-2}\cdot 3+...+C_{n}^{n-2}\cdot 2^2\cdot3^{\frac{n-2}{2}}+3^{\frac{n}{2}}]\]
\[a_n=2^n+C_n^2\cdot 2^{n-2}\cdot 3+...+C_{n}^{n-2}\cdot 2^2\cdot3^{\frac{n-2}{2}}+3^{\frac{n}{2}}\]
这玩意就说明，$n$为偶数时，有
\[(a_n \mod{3})=(2^n\mod{3})\]
以及
\[(a_n\mod{4})=(3^{\frac{n}{2}}\mod{4})\]
套入$n=2022$，会得到
\[(a_n\mod{3})=(2^{2022}\mod{3})=1\]
以及
\[(a_n\mod{4})=(3^{1011}\mod{4})=3\]
四个选项里同时满足上面两个的只有$1351$

周亚明

战巡 发表于 2023-3-24 20:35
从通项硬来也是可以的
很容易得到
\[a_n=\frac{1}{2}[(2-\sqrt{3})^n+(2+\sqrt{3})^n]\]

谢谢