一道强基题

lemondian

已知$ax+by=1,ax^2+by^2=2,ax^3+by^3=7,ax^4+by^4=18$，求$ax^5+by^5$的值

kuing

齐次线性递推数列、特征方程那套方法呗。

类似于：forum.php?mod=viewthread&tid=5335

lemondian

kuing 发表于 2023-4-9 15:27
齐次线性递推数列、特征方程那套方法呗。

类似于：https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewt ...

这贴里面#6中：如果特征方程。。。，反之亦然。
这个结论有证明过程吗？

hbghlyj

相同的问题：由特征方程构造线性递推 1#

hbghlyj

lemondian 发表于 2023-4-12 01:07
这贴里面#6中：如果特征方程。。。，反之亦然。
这个结论有证明过程吗？ ...

齐次线性递推的解形成一个线性空间。公比为$\lambda_1,\dots,\lambda_n$的等比数列构成解空间的一个基。任何解都是它们的线性组合。

hbghlyj

arxiv
OpenAI research
aime_1990_p15
Find $ax^5 + by^5$ if the real numbers $a, b, x,$ and $y$ satisfy the equations\begin{aligned} a x+b y & =3 \\ a x^{2}+b y^{2} & =7 \\ a x^{3}+b y^{3} & =16 \\ a x^{4}+b y^{4} & =42\end{aligned}

1. theorem aime_1990_p15
2. (a b x y : R)
3. (h0 : a * x + b * y = 3)
4. (h1 : a * x^2 + b * y^2 = 7)
5. (h2 : a * x^3 + b * y^3 = 16)
6. (h3 : a * x^4 + b * y^4 = 42) :
7. a * x^5 + b * y^5 = 20 :=
8. begin
9. revert_all,
10. intros a b x y h3 h1 h2 h4,
11. ring_nf at h1 h2,
12. rw ← sub_eq_zero at h1,
13. nlinarith [sq_nonneg (x - y), sq_nonneg (a + b - 2),
14. sq_nonneg (x + y - (2:R)), sq_nonneg (a - b - 2)]
15. end

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