几个简单的不等式

Canhuang

(1) $a,b>0,\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}=\dfrac{1}{2}$, 求 $a+b$ 的最小值
(2) $\sum \dfrac{1}{a^2+1}=2$, 证明 $a+b+c>2$
(3) $x,y>0,x^2+y^3 \geqslant x^3+y^4$, 怎么用柯西不等式证明 $x^2+y^2 \leqslant x+y$

hbghlyj

$x^2 + y^3 \geq x^3 + y^4$ so
$(x^2 + y^3)(x + y^2) \geq (x^3 + y^4)(x + y^2) \geq (x^2 + y^3)^2$, where the last inequality is Cauchy's inequality.
Hence, $x + y^2 \geq x^2 + y^3.$
$$\implies x-x^2\ge y^3-y^2\ge y^2-y$$

Canhuang

hbghlyj 发表于 2023-4-14 21:14
$\sum \frac{1}{a^2+1}=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}$是这个意思吗？但如果是这样$$\frac{1}{a^2+1}+\f ...

已改

hbghlyj

$\frac{1}{1+a^2} = 1 - \frac{a^2}{1+a^2} \geq 1- \frac{a^2}{2a} = 1- \frac{a}{2} $   (等式成立当且仅当$a=0,1$).  相加
$$2=\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} + \frac{1}{1+c^2} \ge3 - \frac{a+b+c}{2} \implies a+b+c\ge 2$$

hbghlyj

Canhuang 发表于 2023-4-14 14:17
已改

当 $(a,b,c)=(1,1,0)$ 等式成立
我认为应该将 $>$ 更改为 $\ge$

hbghlyj

AOPS
For $a,b,c>0$
$$\sum\frac{1}{1+a^2}\geq 2\iff1\ge\sum\frac{a^2}{a^2+1}$$
By AM-GM
$$1\ge\sum\frac{a^2}{2a}=1$$

kuing

hbghlyj 发表于 2023-4-14 20:46
$x^2 + y^3 \geq x^3 + y^4$ so
$(x^2 + y^3)(x + y^2) \geq (x^3 + y^4)(x + y^2) \geq (x^2 + y^3)^2$, where the last inequality is Cauchy's inequality.
Hence, $x + y^2 \geq x^2 + y^3.$
$$\implies x-x^2\ge y^3-y^2\ge y^2-y$$

单看最后那一行，不如直接
\[x-x^2\geqslant x^2-x^3\geqslant y^4-y^3\geqslant y^3-y^2\geqslant y^2-y\]
就完事了😉

另外，你也曾经尝试求最佳指数：
forum.php?mod=viewthread&tid=6765
然鹅最后并没搞出来😌

O-17

第一问应该用一下切线法就好了
$$
\frac{1}{x^2+1}-\frac{5-\sqrt{3}x}{8}=\frac{(\sqrt{3}x+1)(x-\sqrt{3})^2}{8(x^2+1)}\geqslant0~~(x>0)
$$
于是
$$
\frac12=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geqslant\frac54-\frac{\sqrt{3}}{8}(a+b)
$$
整理得
$$
a+b\geqslant\left(\frac54-\frac12\right)\times\frac{8}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}
$$

Canhuang

kuing 发表于 2023-4-14 21:59
单看最后那一行，不如直接
\[x-x^2\geqslant x^2-x^3\geqslant y^4-y^3\geqslant y^3-y^2\geqslant y^2-y ...

本来是个很简单的题目,原来还有有趣的延申

hbghlyj

$x=a^2,y=b^2$

$\sqrt x+\sqrt y=\sqrt k$是轴倾斜45度的抛物线	$x,y>0,\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{2}$是双曲线的一支

缩放抛物线使其与双曲线相切，因为它们都关于 $y=x$ 对称，切点在 $y=x$ 上。

Canhuang

(2)是 $$a,b,c>0,\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$$ 的等价版本.

kuing

Canhuang 发表于 2023-4-14 22:16
(2)是 $$a,b,c>0,\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$$ 的等价版本.

这倒是很熟悉的东东 `\sqrt{\frac{a}{b+c}}>\frac{2a}{a+b+c}` 😄

Canhuang

kuing 发表于 2023-4-14 22:18
这倒是很熟悉的东东 `\sqrt{\frac{a}{b+c}}>\frac{2a}{a+b+c}` 😄

这个怎么证明

O-17

Canhuang 发表于 2023-4-14 22:23
这个怎么证明

配方得
$$
\frac{a}{b+c}-\frac{4a^2}{(a+b+c)^2}=\frac{a(a-b-c)^2}{(b+c)(a+b+c)^2}
$$

hbghlyj

Canhuang  发表于 2023-4-14 14:32
正数

(2) 需要在1#问题中添加条件：$a,b,c$ 为正数

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-4-14 15:14
$x=a^2,y=b^2$
缩放抛物线使其与双曲线相切，因为它们都关于 $y=x$ 对称，切点在 $y=x$ 上。 ...

关于“切点在$y=x$上”的证明, 见此帖

O-17

O-17 发表于 2023-4-14 22:02
第一问应该用一下切线法就好了
$$
\frac{1}{x^2+1}-\frac{5-\sqrt{3}x}{8}=\frac{(\sqrt{3}x+1)(x-\sqrt{3} ...

应楼主要求, 又想到了第一问的另一个方法...但我并不觉得比切线法简单多少 (关键是这样做还得动脑子唉)
首先不难将约束条件转化为 $a^2b^2=a^2+b^2+3\geqslant2ab+3$ 解得 $ab\geqslant3$ .
然后这个约束条件又可以化为 $(a+b)^2=a^2b^2+2ab-3$ , 因为 $y=x^2+2x-3$ 在 $\left[3,+\infty\right)$ 严格增, 所以有 $(a+b)^2\geqslant12$ , 于是 $a+b\geqslant2\sqrt{3}$ .