定理：若 $\mathbf{C}$ 是域F上 m 维线性空间 W 上的线性变换，如果 $\mathbf C$ 的最小多项式是一个不可约多项式的幂，即 $m(\lambda)=p^l(\lambda)$ ，其中 $q(\lambda)$ 为域 F 上的 r 次不可约多项式，那么线性空间 W 可以分解成 $\frac1 r \dim W_0$ 个 $\mathbf C$ -循环子空间的直和，其中 $W_0=\ker p(\mathbf C)$ 。 这个定理是线性变换具有理标准型的前奏。其证明也是很繁琐，整篇证明看下来给人一种恍惚感，貌似很难把握证明的核心路线。因此我会尝试着以一种更具启发性的方法给这个证明重新写一遍，一方面加深自己的理解，另一方面给迷茫的小伙伴一点途径。 首先要确定一个很明确的思路，这个思路在Jordan标准型那里就已经广泛运用了，这是我们证明这类问题通常使用的路线：利用归纳法，从商空间回到补空间来寻找我们想要的分解。 当然m=1的时候结论是trivial的，现在假定对于所有维数小于m的线性空间，定理都成立。来讨论当W的维数为m时的情况。 最小多项式 $m(\lambda)=p^l(\lambda)$ ，在这里我们将只考虑 $l>1$ 的情况，这时因为 $p(\mathbf C)\not=0$ ，所以有 $\ker p(\mathbf C)=W_0\not=W$ 。 这样当我们考虑商空间 $W/W_0$ 时，有结论 $\dim W/W_0>0$ ，从而 $W/W_0\not=0$ ，但是 $\dim W/W_0=\dim W-\dim W_0<m$ 。令 $\tilde{\mathbf C}$ 是线性变换 $\mathbf C$ 在商空间上诱导出来的线性变换，即 $\tilde{\mathbf C}(\gamma+W_0)=\mathbf C\gamma+W_0,\forall \gamma\in W$ 。 我们可以用到归纳假设将商空间 $W/W_0$ 分解成 $s$ 个循环子空间的直和， $W/W_0=\bigoplus_{j=1}^s\langle\xi_j+W_0,\tilde{\mathbf C}(\xi_j+W_0),\cdots,\tilde{\mathbf C}^{t_j-1}(\xi_j+W_0)\rangle.$ 而且由此我们得到了商空间的一组基: $\bigcup_{j=1}^{s}\left\{\tilde{\mathbf C}^{i-1}(\xi_j+W_0),i=1,2,\cdots,t_j\right\}.$ 根据我们由商空间回到补空间的思路，令： $U=\langle\xi_1,\mathbf C\xi_1,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_1,\cdots\cdots,\xi_s,\mathbf C\xi_s,\cdots,\mathbf C^{t_s-1}\xi_s\rangle$ 那么 $U$ 就是 $W_0$ 在 $W$ 中的补空间，于是我们有： $W=U\oplus W_0$ 。 而且U的一组基便是： $\bigcup_{j=1}^{s}\left\{\mathbf C^{i-1}\xi_j,i=1,2,\cdots,t_j\right\}.$ 既定的思路走到尽头了，下面就要全凭我们的观察和直觉前进了。 我们看到，在U的基里，对于每个 $j$ ， $\langle\xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j\rangle$ 看起来很像是一个 $\mathbf C$ -循环子空间的样子，会不会它就是循环子空间呢？我们来验证一下！ 向量组 $\xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j$ 显然是线性无关的。所以只要验证 $\mathbf C^{t_j}\xi_j$ 是否能用该向量组线性表出即可。 很容易观察到的是，因为 $\langle\xi_j+W_0,\tilde{\mathbf C}(\xi_j+W_0),\cdots,\tilde{\mathbf C}^{t_j-1}(\xi_j+W_0)\rangle$ 是商空间 $W/W_0$ 上的 $\tilde{\mathbf C}$ -循环子空间，所以 $\tilde{\mathbf C}^{t_j}(\xi_j+W_0)=-\sum_{i=0}^{t_j-1}q_i\tilde{\mathbf C}^{i}(\xi_j+W_0).$ 也即： $\mathbf C^{t_j}\xi_j+W_0=\left(-\sum_{i=0}^{t_j-1}q_i\mathbf C^{i}\xi_j\right)+W_0.$ 由商空间的定义，上式表明： $\eta_j=\mathbf C^{t_j}\xi_j-\left(-\sum_{i=0}^{t_j-1}q_i\mathbf C^{i}\xi_j\right)\in W_0$ 。 于是有： $\mathbf C^{t_j}\xi_j=\eta_j-\left(\sum_{i=0}^{t_j-1}q_i\mathbf C^{i}\xi_j\right).$ 其中 $\eta_j\in W_0$ 。 这样，先前讨论的 $\langle\xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j\rangle$ 就不是 $\mathbf C$ -循环子空间，因为要表出上式左边还需要一个 $W_0$ 中的向量 $\eta_j$ 。 这个 $\eta_j$ 到底是什么？我们能把它表示成与 $\xi_j$ 相关的向量的和吗？我们当然希望答案是可以。如果能在 $W_0$ 中找到补充的向量组，将它加入到 $\langle\xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j\rangle$ 中便成为了循环子空间是最好的。 我们下面就要来尝试这个想法。 因为商空间上的性质还没挖掘完，还可以着手考察线性变换 $\tilde{\mathbf C}$ 在循环子空间 $\langle\xi_j+W_0,\mathbf C\xi_j+W_0,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j+W_0\rangle$ 上的限制 $\tilde{\mathbf C_j}$ 。循环子空间自然是一个不变空间，所以这个限制一定是循环子空间到自身的线性变换。 设 $\tilde{\mathbf C_j}$ 在 $\langle\xi_j+W_0,\tilde{\mathbf C}(\xi_j+W_0),\cdots,\tilde{\mathbf C}^{t_j-1}(\xi_j+W_0)\rangle$ 上的最小多项式为 $\tilde m_j(\lambda)=\lambda^{t_j}+b_{j,t_j-1}\lambda^{t_j-1}+\cdots+b_{j0}.$ 现在来看这个最小多项式有什么样的形式。 设 $\tilde m(\lambda)$ 为线性变换 $\tilde {\mathbf C}$ 在商空间 $W/W_0$ 上的最小多项式。因为 $m(\lambda)=p^l(\lambda)$ 是线性变换 $\mathbf C$ 在W上的最小多项式，所以对于任意 $\gamma\in W$ ，有 $p^l(\tilde{\mathbf C})(\gamma+W_0)=p^l(\mathbf C)\gamma+W_0=W_0$ 。这表明 $p^l(\lambda)$ 是线性变换 $\tilde{\mathbf C}$ 的零化多项式，从而 $\tilde{m}(\lambda)\; |\;p^l(\lambda)$ 。这就说明， $\tilde m(\lambda)=p^k(\lambda)$ ，对于某个 $k\leq l$ 而言。 而对于线性变换 $\tilde{\mathbf C}_j$ ，显然 $\tilde m(\lambda)=p^k(\lambda)$ 是它的一个零化多项式，所以 $\tilde m_j(\lambda)\;|\; p^k(\lambda)$ 。这样， $\tilde{m}_j(\lambda)=p^{h_j}(\lambda)$ ，对于某个 $h_j\leq k$ 而言。 于是，根据一开始假设的 $\tilde m_j(\lambda)$ 的展开式，我们有： $p^{h_j}(\lambda)=\lambda^{t_j}+b_{j,t_j-1}\lambda^{t_j-1}+\cdots+b_{j0}.$ 从最小多项式我们很容易得到，对于向量 $\xi_j$ ，有 $p^{h_j}(\tilde{\mathbf C})(\xi_j+W_0)=p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j+W_0=W_0,$ 根据商空间的定义，这表明向量 $p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\in W_0$ ，而且，这个向量肯定不为0向量，因为如果它为0，则 $p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j\in \ker p(\mathbf C)=W_0$ ，这会导致： $p^{h_j-1}(\tilde{\mathbf C})(\xi_j+W_0)=p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j+W_0=W_0$ 这样 $p^{h_j-1}(\lambda)$ 将会是比最小多项式 $\tilde m_j(\lambda)=p^{h_j}(\lambda)$ 次数更低的零化多项式，这显然是不可能的。 于是 $W_0\ni p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\not=0$ ，从这里得到启发，我们也许可以考察由这个向量（对于每个 $j$ 而言）生成的 $W_0$ 中的 $\mathbf C$ -循环子空间。 考虑限制 $\mathbf C|W_0$ 的最小多项式 $m_0(\lambda)$ 。因为 $W_0=\ker p(\mathbf C)$ ，所以对于任何 $\delta\in W_0$ ，有 $p(\mathbf C|W_0)\delta=p(\mathbf C)\delta=0$ ，从而 $p(\lambda)$ 是线性变换 $\mathbf C|W_0$ 的一个零化多项式，于是 $m_0(\lambda)\;|\; p(\lambda)$ ，因为 $p(\lambda)$ 在域F上不可约，所以 $m_0(\lambda)=p(\lambda)$ 。 现在，对于每个非零向量 $p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\in W_0$ ，设其在 $W_0$ 上生成的 $\mathbf C|W_0$ -循环子空间的最小多项式为 $m_j(\lambda)$ ，显然 $m_j(\lambda)\;|\; p(\lambda)$ ，同样有 $m_j(\lambda)=p(\lambda)$ ，即子空间 $\langle p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\mathbf Cp^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle$ 是 $\mathbf C|W_0$ -循环子空间，因为 $p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\in W_0$ ，这样 $(\mathbf C|W_0)p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j=\mathbf Cp^{h_j}(\mathbf C)\xi_j$ ，所以这个子空间也是 $\mathbf C$ -循环子空间。 这下好了，我们得到了一组和 $\xi_j$ 有关的线性无关的向量组，我们可能会试着把它加入到之前讨论的子空间中，即考虑： $\langle \xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j,p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\mathbf Cp^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle$ 很显然上面包含的向量组是线性无关的，因为左右部分各自线性无关，而且因为它们分别是 $U$ 和 $W_0$ 中的线性无关的向量组， $W=U\oplus W_0$ 是直和，所以总的向量组是线性无关的。 它是一个循环子空间吗？ 当然以这种形式肯定看不出来，但是我们可以把 $p^{h_j}(\mathbf C)$ 展开，也许有用。 因为： \[\begin{align} p^{h_j}(\lambda)&=\lambda^{t_j}+b_{j,t_j-1}\lambda^{t_j-1}+\cdots+b_{j0}\\
\end{align}\] 可以写出： \[\begin{align} p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j&=\mathbf C^{t_j}\xi_j+b_{j,t_j-1}\mathbf C^{t_j-1}\xi_j+\cdots+b_{j0}\xi_j,\\
\mathbf Cp^{h_j}(\mathbf C)\xi_j&=\mathbf C^{t_j+1}\xi_j+b_{j,t_j-1}\mathbf C^{t_j}\xi_j+\cdots+b_{j0}\mathbf C\xi_j,\\
&\cdots\cdots\cdots\\
\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j&=\mathbf C^{t_j+r-1}\xi_j+b_{j,t_j-1}\mathbf C^{t_j+r-2}\xi_j+\cdots+b_{j0}\mathbf C^{r-1}\xi_j,\\
\end{align}\] 从上面的等式我们至少能得到这样的结论，向量组 $\{\mathbf C^{i-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,i=1,2,\cdots,r\}$ 可以用向量组 $\{\mathbf C^{i-1}\xi_j,i=1,2,\cdots,t_j+r\}$ 线性表出。 以及，如果我们将上面那些等式右边第一项单独表示出来，我们又能得到结论：向量组 $\{\mathbf C^{i-1}\xi_j,i=t_j+1,t_j+2,\cdots,t_j+r\}$ 可以由向量组 $\{\mathbf C^{i-1}\xi_j,i=1,2,\cdots,t_j\}\cup\{\mathbf C^{i-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,i=1,2,\cdots,r\}$ 线性表出。 这意味着，上面构造的子空间等于： \[\begin{align} &\langle \xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j,p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle\\
&=\langle\xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j,\mathbf C^{t_j}\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j+r-1}\xi_j\rangle \end{align}\] 这就有了循环子空间的形状了。两边向量的个数都是 $t_j+r$ 个，而左边的向量由我们前面的讨论是线性无关的，所以也就是一组基，从而这个子空间的维数就是 $t_j+r$ ，等式右边的向量组可以线性表出左边的基，个数等于维数+可表性就能得出右边的向量组也是一组基，从而也是线性无关的。 验证循环子空间的两个条件，一是上面显示的向量组线性无关，二是考察 $\mathbf C^{t_j+r}\xi_j$ 是否可以由基线性表出。 注意到 $\langle p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\mathbf Cp^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle$ 是循环子空间，所以 $\mathbf C^{r}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j$ 可以由这些向量线性表出，从而也就能由向量组 $\{\mathbf C^{i-1}\xi_j,i=1,2,\cdots,t_j+r\}$ 线性表出。 但是，注意到： $\mathbf C^rp^{h_j}(\mathbf C)\xi_j=\mathbf C^{t_j+r}\xi_j+\cdots+b_{j1}\mathbf C^{r+1}\xi_j+b_{j0}\mathbf C^r\xi_j,$ 从而 $\mathbf C^{t_j+r}\xi_j$ 便可以用向量组 $\{\mathbf C^{i-1}\xi_j,i=1,2,\cdots,t_j+r\}$ 线性表出。 这样我们就验证了W的子空间 $\langle\xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j,\mathbf C^{t_j}\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j+r-1}\xi_j\rangle$ 是一个C-循环子空间。 我们大概立马就能想到下面的步骤，那就是对于每一个U的子空间 $\langle\xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j\rangle$ ，在 $W_0$ 中选取子空间 $\langle p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\mathbf Cp^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle$ ，并将它们合并成为了一个循环子空间！这样我们就得到了 s 个循环子空间， $W_0$ 中剩下的（如果还有的话）就利用归纳假设！ 在这之前还需要解决一个问题，我们需要回答向量组 $\bigcup_{j=1}^s\{\mathbf C^{i-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,i=1,2,\cdots,r\}$ 是否线性无关。 现在假设存在 $d_{ji},i=0,1,\cdots,r-1,j=1,\cdots,s$ 使得： $\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{r-1}d_{ji}\mathbf C^{i}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j=0,$ 我们需要证明 $d_{ji}=0,i=0,\cdots,r-1,j=1,\cdots,s$ 。 我们可能会想到把 $p^{h_j}(\mathbf C)$ 展开，并利用商空间的基 $\bigcup_{j=1}^{s}\left\{\tilde{\mathbf C}^{i-1}(\xi_j+W_0),i=1,2,\cdots,t_j\right\}$ 的线性无关性。 但有一点无法回避，商空间的基中 $\tilde{\mathbf C}$ 的最高次幂就只到了 $t_j-1$ ，但将 $p^{h_j}(\mathbf C)$ 展开后有 $t_j$ 次幂的项。考虑到商空间的零元是 $W_0$ ，所以比较自然的做法是注意到以下： $p(\mathbf C)\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{r-1}d_{ji}\mathbf C^{i}p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j=0,$ 从而向量 $\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{r-1}d_{ji}\mathbf C^{i}p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j\in W_0=\ker p(\mathbf C).$ 于是在商空间中，我们有： $\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{r-1}d_{ji}\mathbf C^{i}p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j+W_0=W_0,$ 现在来将 $p^{h_j-1}(\mathbf C)$ 展开，注意到它的定义： \[\begin{align} p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j&=\mathbf C^{t_j-r}\xi_j+e_{j,t_j-1}\mathbf C^{t_j-r-1}\xi_j+\cdots+e_{j0}\xi_j,\\
\mathbf Cp^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j&=\mathbf C^{t_j-r+1}\xi_j+e_{j,t_j-1}\mathbf C^{t_j-r}\xi_j+\cdots+e_{j0}\mathbf C\xi_j,\\
&\cdots\cdots\cdots\\
\mathbf C^{r-1}p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j&=\mathbf C^{t_j-1}\xi_j+e_{j,t_j-1}\mathbf C^{t_j-2}\xi_j+\cdots+e_{j0}\mathbf C^{r-1}\xi_j,\\
\end{align}\] 对于每一个 $j$ ，将上面的等式加起来，我们得到： $\sum_{i=0}^{r-1}d_{ji}\mathbf C^ip^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j=d_{j,r-1}\mathbf C^{t_j-1}\xi_j+\sum_{i=0}^{t_j-2}h_{ji}\mathbf C^i\xi_j,$ 将这个等式带入，得到： $\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{r-1}d_{ji}\mathbf C^{i}p^{h_j-1}(\mathbf C)\xi_j=\sum_{j=1}^sd_{j,r-1}\mathbf C^{t_j-1}\xi_j+\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{t_j-2}h_{ji}\mathbf C^{i}\xi_j$ 从而在商空间中有相应的： $\sum_{j=1}^sd_{j,r-1}\tilde{\mathbf C}^{t_j-1}(\xi_j+W_0)+\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{t_j-2}h_{ji}\tilde{\mathbf C}^{i}(\xi_j+W_0)=W_0,$ 因为商空间的基是线性无关的，所以从上式可得到： $d_{j,r-1}=0,j=1,2,\cdots,s$ 。 这样原来的 $\sum_{j=1}^s\sum_{i=0}^{r-1}d_{ji}\mathbf C^{i}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j=\sum_{j=1}^{s}\sum_{i=0}^{r-2}d_{ji}\mathbf C^{i}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j=0,$ 按照同样的方法，可以依次证明 $d_{j,r-2}=0,d_{j,r-3}=0,\cdots,d_{j,0}=0$ ，其中 $j=1,2,\cdots,s$ 。 这样，我们就证明了向量组 $\bigcup_{j=1}^s\{\mathbf C^{i-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,i=1,2,\cdots,r\}$ 的线性无关性。 综合起来， $W_{01}=\bigoplus_{j=1}^s\langle p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle$ 就是直和，从而也是 $W_0$ 的一个子空间，其维数 $\dim W_{01}=rs$ 。 记 $W_{02}$ 是 $W_{01}$ 在 $W_0$ 中的补空间，即 $W_0=W_{01}\oplus W_{02}$ ，其中 $W_{02}$ 肯定满足归纳假设，所以它可以分解为 $u$ 个循环子空间的直和： $W_{02}=\bigoplus_{j=1}^u\langle \eta_j,\mathbf C\eta_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}\eta_j \rangle.$ 从分解式可以看出： $\dim W_{02}=ru$ 。从而我们可以得到 $W_0$ 的直和分解： $W_0=\left(\bigoplus_{j=1}^s\langle p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle\right)\oplus\left(\bigoplus_{j=1}^u\langle \eta_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}\xi_j\rangle\right)$ 这样，从 $W=U\oplus W_0$ ，以及 $U$ 的直和分解，得到： \[\begin{align} W&=\left(\bigoplus_{j=1}^s\langle \xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j,p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}p^{h_j}(\mathbf C)\xi_j\rangle\right)\\
&\qquad\qquad\oplus\left(\bigoplus_{j=1}^{u}\langle \eta_j,\mathbf C\eta_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}\eta_j\rangle\right)\\
&=\left(\bigoplus_{j=1}^s\langle \xi_j,\mathbf C\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j-1}\xi_j,\mathbf C^{t_j}\xi_j,\cdots,\mathbf C^{t_j+r-1}\xi_j\rangle\right)\\
&\qquad\qquad\oplus\left(\bigoplus_{j=1}^{u}\langle \eta_j,\mathbf C\eta_j,\cdots,\mathbf C^{r-1}\eta_j\rangle\right) \end{align}\] 在上面的直和分解中，每一个子空间都是C-循环子空间，而且其个数为 $s+u$ 个，但是因为 $sr+ur=\dim W_0$ ，所以 $s+u=\frac1 r\dim W_0$ 为C-循环子空间的个数。 这就是维数为m的线性空间对应的结论了，由归纳原理可知对于任何维数为 $m\in \mathbb N$ 的线性空间结论都成立。 | 
hbghlyj
发表于 2023-5-19 23:17
