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本帖最后由 Czhang271828 于 2023-6-10 23:43 编辑 最后的结果是:
(1) 若不提及 $\theta$, 只提及小区间的存在性, 那么存在至多可数集 $E$ 使得 $g$ 限制在 $[a,b]\setminus E$ 上连续. 换言之, 小区间至多无法覆盖 $[a,b]$ 中可数个点. 我认为对工程学而言做到这步已经足够.
我举个例子理解: 数学分析中的 Dirichlet 函数 $\chi(x)$ 在有理点取 $1$, 无理点取 $0$. 那么从数学分析角度而言, $\chi(x)$ 在 $\mathbb R$ 上处处不连续; 从实分析角度而言, $\chi(x)$ 限制在 $\mathbb R\setminus \mathbb Q$ 上是个连续函数, 并且 $\chi(x)$ 和零函数几乎相等. 如果你们认为 Dirichlet 函数就是 $0$, 那么就可以认为'结论(1)'表明 $g$ 在 $[a,b]$ 上连续.
证明如下首先依照如下步骤, 证明这些小区间的并在 $[a,b]$ 中稠密:
- Step $1$ 对 $n=1$, 在 $[p^{(1)}_0,p^{(1)}_1]$ 中任取一个点.
- Step $2$ 再对 $n=2$, 在每个形如 $[p^{(2)}_{2s},p^{(2)}_{2s+1}]$ 的区间中取一个点;
- Step $n=1,2,3,4,5,\ldots$.
记以上 Steps 中取出的所有点的并为 $S$.
- 由于 Step $k$ 取出 $k$ 个不重的点, 所以 $S$ 包含任意大的有限集, 因此是是无限集.
- 对任意 $[a,b]$ 中区间 $U$, 记其长度为 $l$, 则 $U$ 包含某个长度小于 $\dfrac{b-a}{2a}$ 的区间 $[p_{2s}^{(n)},p_{2s+1}^{n}]$. 因此 $S\cap U\neq \varnothing$. 这也说明 $\overline S=[a,b]$.
现在看所有小区间的并
$$
T:=\bigcup_{n\geq 0}\left(\bigcup_{s=0}^{n-1}[p^{(n)}_{2s},p^{(n)}_{2s+1}]\right).
$$
由于 $S\subseteq T\subseteq [a,b]$, 故 $\overline T=[a,b]$. 为了能更清楚地看到 $T$ 的结构, 可以取开集
$$
T^\circ:=\bigcup_{n\geq 0}\left(\bigcup_{s=0}^{n-1}(p^{(n)}_{2s},p^{(n)}_{2s+1})\right).
$$
以及端点集
$$
T^b:=\bigcup_{n\geq 0}\left(\bigcup_{s=0}^{n-1}\{p^{(n)}_{2s},p^{(n)}_{2s+1}\}\right).
$$
此处 $T^\circ \cup T^b=T$. 因此 $T$ 是 $(a,b)$ 上稠密开集与可数点集的并. 由于 $[a,b]\setminus T$ 是可数集, 从而不连续点可数.
(2) 至少对 $\theta>\dfrac{1}{2}$, $g$ 在 $(a,b)$ 上连续. 该常数无法优化.
证明如下实际上只需要如下引理(方便起见, 不妨设设 $a=0$, $b=1$, 也就是一个线性变化)
- 对任意 $s\in [a,b]$, $s$ 距离某个 $[k/n, (k+1)/n]$ 区间中点的距离可以任意小.
这样一来, 若 $\theta>\dfrac 12$ 但 $y\in [0,1]$ 无法被覆盖, 则存在某个 $n$ 与 $k$ 使得
\[
\left|y-\dfrac{k}{n}\right|,\left|y-\dfrac{k+1}{n}\right|\leq \theta\cdot \dfrac{1}{n},
\]
因此矛盾. 此处也可看出 $\theta=\dfrac{1}{2}$ 是最佳常数. 不然总可以根据间断点构造适当的 $p$-区间.
引理证明: 我们将 $[k/n, (k+1)/n]$ 拆成 $[2k/2n, (2k+1)/n]\cup [(2k+1)/2n, (2k+2)/2n]$. 因此只需说明, $\{n\cdot s\}_{n\geq 1}$ 的小数部分可以任意接近 $0$. 这个结论论坛里应该有, 找不到的话我再写写.
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Czhang271828
发表于 2023-6-10 14:48
抱拳