共轭调和函数

hbghlyj

工程数学:复变函数 第四版 第三章习题

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24. 设 $u$ 和 $v$ 都是调和函数, 如果 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数, 那么 $u$ 也是 $v$ 的共轭调和函数, 这句话对吗?
25. 设 $f(z)=u+\mathrm{i} v$ 在区域 $D$ 内解析, 证明乘积 $u v$ 也是 $D$ 内的调和函数.
26. 如果 $f(z)=u+\mathrm{i} v$ 是一解析函数,试证:
(1) $\overline{\mathrm{i} \overline{f(z)}}$ 也是解析函数;
(2) $-u$ 是 $v$ 的共轭调和函数;
(3) $\frac{\partial^2|f(z)|^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2|f(z)|^2}{\partial y^2}=4\left(u_x^2+v_x^2\right)=4\left|f^{\prime}(z)\right|^2$.
27. 证明: $u=x^2-y^2$ 和 $v=\frac{y}{x^2+y^2}$ 都是调和函数, 但是 $u+\mathrm{i} v$ 不是解析函数.
28. 求具有下列形式的所有调和函数 $u$ :
(1) $u=f(a x+b y), a$ 与 $b$ 均为常数;
(2) $u=f\left(\frac{y}{x}\right)$.
(提示: (1) 令 $t=a x+b y ;$ (2) 令 $t=\frac{y}{x}$.)

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24. 否。Cauchy–Riemann equations 中 $u$ 与 $v$ 的地位不能颠倒，见26(2)。
25. $\frac{f^2}2$在$D$内解析，故$\operatorname{Im}\frac{f^2}2=uv$在$D$内调和。
26. (1) $\overline{\mathrm{i} \overline{f(z)}}=-\mathrm if(z)$
(2) $u_x=v_y,u_y=-v_x$等价于$v_x=-u_y,v_y=u_x$
(3) $\frac{\partial^2|f(z)|^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2|f(z)|^2}{\partial y^2}$
$=2u\cancel{(u_{xx}+u_{yy})}+2u_x^2+2u_y^2+2v\cancel{(v_{xx}+v_{yy})}+2v_x^2+2v_y^2$
$=4\left(u_x^2+v_x^2\right)$
$=4\left|f^{\prime}(z)\right|^2$
27. $u=\operatorname{Re}f^2;v=\operatorname{Re}\frac if;u_x\ne v_y$
28. (1) $0=u_{xx}+u_{yy}=a^2f''(t)+b^2f''(t)$
$\implies f''(t)=0$
$\implies f(t)=c_0+c_1t$
$\implies u(x,y)=c_0+c_1(ax+by)$
(2) $0=u_{xx}+u_{yy}=\frac{y^2}{x^4}f''(t)+\frac{2y}{x^3}f'(t)+\frac1{x^2}f''(t)$
$\implies\frac{f''(t)}{f'(t)}=\frac{2xy}{x^2+y^2}$
$\implies f'(t)=e^{\frac{2xy}{x^2+y^2}t}$
$\implies f(t)=c_1\frac{x^2 + y^2}{x y} e^{2 t x y\over x^2 + y^2}+ c_2$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-7-17 19:34
(2) $0=u_{xx}+u_{yy}=\frac{y^2}{x^4}f''(t)+\frac{2y}{x^3}f'(t)+\frac1{x^2}f''(t)$
$\implies\frac{f''(t)}{f'(t)}=\frac{2xy}{x^2+y^2}$
$\xcancel{\implies f'(t)=e^{\frac{2xy}{x^2+y^2}t}}$

这步错了 我把$x,y,t$视为无关的变量，但$t=y/x$是由$x,y$决定的。正确的做法：
$\frac{f''(t)}{f'(t)}=\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{2t}{t^2+1}$
$\implies\log f'(t)=\log(t^2+1)$
$\implies f(t)=c_1(t^3+3t)+c_2$

hbghlyj

29. 由下列各已知调和函数求解析函数 $f(z)=u+\mathrm{i} v$：
(1) $u=(x-y)\left(x^2+4 x y+y^2\right)$;
(2) $v=\frac{y}{x^2+y^2}, f(2)=0$;
(3) $u=2(x-1) y, f(2)=-\mathrm{i}$;
(4) $v=\arctan \frac{y}{x}, x>0$.
30. 设 $v=\mathrm{e}^{p x} \sin y$，求 $p$ 的值使 $v$ 为调和函数，并求出相应的解析函数 $f(z)=u+\mathrm{i} v$.

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29. (1) $u=(x^3 - 3 x y^2)+(3 x^2 y  - y^3)=\operatorname{Re}(x+\mathrm{i}y)^3+\operatorname{Im}(x+\mathrm{i}y)^3$
$\implies v=\operatorname{Im}(x+\mathrm{i}y)^3-\operatorname{Re}(x+\mathrm{i}y)^3+C=x^3 - 3 x y^2-3 x^2 y+ y^3+C,C\inR$
(2) $u=\frac{-x}{x^2+y^2}+C,C\inR;f(2)=0\implies C=\frac12,u=\frac{-x}{x^2+y^2}+\frac12$
(3) $v=-x^2+y^2+2x+C;f(2)=-\mathrm{i}\implies C=-1,v=-x^2+y^2+2x-1$
(4) $ f^{\prime}(z)=v_{y}+\mathrm{i} v_{x} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{i}=\frac{1}{z} \implies f(z)=\ln z+C,C\inR$
题中条件$x>0$是为了使$\arg(x+iy)=\arctan\frac yx$
如果$x<0$，答案就会是$f(z)=\ln(-z)+C,C\inR$
30. Δ(e^px sin y)${}=(p^2-1) e^{p x} \sin(y)$
$v$为调和函数，则$p=\pm1$，相应的解析函数$f(z)=e^z,-e^{-z}$.