隐函数定理 求出级数展开

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-2-28 07:21
一般地, 就是给定在 $(x_0,f(x_0))$ 处可逆的光滑函数 $f$, 并且已知 $f^{-1}$ 的表达式, 试求 $f(x_0)$ 附近的 Taylor 展开. 用 $f$ 各阶导数表示 $f^{-1}$ 各阶导数的算法估计有很多, 此处不议.

在这帖中\begin{cases}\exp (u)+\exp (2 v)+\exp (x)+\exp (2 y)=4\\\exp (u)+\exp (v)+\exp (x)+\exp (y)=4\end{cases}根据隐函数定理，存在一个(0,0)附近的函数$(x,y)\mapsto(u,v)$
如何求出它的级数展开呢？
根据这帖应该是\begin{cases}u=-x-x^2+2y^2+O((x^2+y^2)^{3/2})\\v=-y-3y^2+O((x^2+y^2)^{3/2})\end{cases}

hbghlyj

类似于Inverse of multivariate function power series