二次不定方程

力工

求教此题。
求不定方程$x(86-x)=y(x+2y)$的正整数解$(x,y)$.

uk702

硬解？整理得 $2y^2 + xy + x^2 - 86x = 0$
故 $ \Delta = 688x - 7x^2 $必须是个完全平方数，满足这条件的有：9, 16, 43, 50, 81, 86, 98，经检验有组两正整数解：
{16, 20}，{50, 20}

(20:41) gp > select(x->issquare(688*x-7*x^2), [1..1000])
%9 = [9, 16, 43, 50, 81, 86, 98]

力工

uk702 发表于 2024-1-28 20:57
硬解？整理得 $2y^2 + xy + x^2 - 86x = 0$
故 $ \Delta = 688x - 7x^2 $必须是个完全平方数，满足这条件的 ...

谢谢大佬。继续讨教$\Delta=k^2$怎么变形？本滓从奇偶分析的角度没法去完成。

uk702

力工 发表于 2024-1-29 10:19
谢谢大佬。继续讨教$\Delta=k^2$怎么变形？本滓从奇偶分析的角度没法去完成。 ...

没太明白你的意思，我也没找到其它高招，由 $ \Delta = 688x - 7x^2 ≧ 0$ 可得 $ x < \frac{688}{7} = 100 $，之后穷举即可。

而且 $ \Delta = 688x - 7x^2$ 为完全平方数共有 {9, 16, 43, 50, 81, 86, 98} 七个解这么多，看起来好像也只有穷举了。

从穷举的角度而言，有 $ 43^2 ≧ x(86-x) = y(x+2y) ≧ 2y^2 \implies y < 30.4 $，可稍微缩小一下穷举的数量，但没实质的变化。

uk702

假装在解。

令 $ x=ky $，其中 $ k=\frac{p}{q} $，代入，得:
\begin{gather*}
ky(86-ky)=y(ky+2y)  \\
\hspace{4em}\implies\ k(86-ky)=(k+2)y\ \\
\hspace{3.2em}\implies\ 86k=(k^2+k+2)y\ \ \\
\hspace{1em}\implies\ y=\dfrac{86k}{k^2+k+2}
\end{gather*}


一种可能， $ y $ 包含因子 $ 43 $，
若 $ y=86 $，则 $ k^2+k+2\ =\ k $无解；
若 $ y=43\ \implies\ 2k=k^2+k+2\ \iff\ k=k^2+2 $无解

第二种可能， $ k=\frac{p}{q} $代入，得 $ y=\dfrac{86k}{k^2+k+2}=\ \dfrac{86pq}{p^2+pq+2q^2} $为整数，

∴ $ 43\ \mid\ (p^2+pq+2q^2)\ \implies\ (2p+q)^2+7q^2\ \equiv\ 0\ (mod\ 43)\implies\ x^2\equiv\ -7(mod\ 43) $
解得 $ x=\pm\ 6 $，∴ $ 2p+q=\pm\ 6q \ (mod\ 43) $
解得 $ p=5 $， $ q=2 $ 及 $ p=4 $,  $ q=5 $ （其它解被故意无视）

再将 $ x=\dfrac{5}{2}y $ 和 $ x=\dfrac{4}{5}\ y $代入，解得 $ \{\ x=50 $, $ y=20\ \} $ 及 $ \{\ x=16 $，$ y=20\ \} $

uk702

正解：由楼上，知 $ y=\dfrac{86pq}{p^2+pq+2q^2}$ ， ∴   $ y(p^2+pq+2q^2)=86pq $

∵ ($ p $,$ q)\ =1 $，现假设 $ g$ 是 $ p$ 的一个素因子，显然 $ g\ \nmid\ q $，
∴ $ g\ \nmid\ p^2+pq+2q^2 $，∴ ($ p^2+pq+2q^2 $, $ pq)\ =\ 1 $
∴ ($ p^2+pq+2q^2)\ \mid\ 86 $

故有：
$ case\ 1 $: $ p^2+pq+2q^2\ =\ 1$ （无解）
$ case\ 2 $: $ p^2+pq+2q^2\ =\ 2$ （无解）
$ case\ 3 $: $ p^2+pq+2q^2=43$ 得解 $ p=5 $, $ q=2 $
$ case\ 4 $: $ p^2+pq+2q^2=86$ 得解 $ p=4 $, $ q=5 $

睡神

老了，啃不动题了

设$(x,y)=d$，不妨设$x=ad,y=bd,(a,b)=1$，则$a(86-ad)=bd(a+2b)$

因为$(a,a+2b)=1,(a,b)=1$，所以$a|d$

设$d=ka$，则$86-ka^2=kb(a+2b)$，即$86=k(a^2+ab+2b^2)$

因为$a^2+ab+2b^2>4$，所以$k=1$或$k=2$

① 当$k=1$时，$a(a+b)=2(43-b^2)>0$

    此时，$b \le6$且$b$为奇数
   
    验算得，$b=5,a=4,d=4$，则$x=16,y=20$

②当$k=2$时，$a(a+b)=43-2b^2)>0$

    此时，$b \le4$且$b$为偶数
   
    验算得，$b=2,a=5,d=10$，则$x=50,y=20$

uk702

睡神 发表于 2024-2-3 09:33
老了，啃不动题了

挺好。由 $k(a^2+ab+2b^2) = 86 \implies  a^2+ab+2b^2 = 1, 2, 43, 86$，此时$2b^2 < 86 \implies b < 6$，之后就仅需做很少量的验证。