逐点收敛+有界⇒弱收敛

hbghlyj

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以下关于 $l^p$ 空间的练习需要帮助：

hbghlyj

方向 1=>2 在 math.stackexchange.com/q/1018757 中得到证明
另一个方向呢 2=>1

hbghlyj

[*]Weakly convergence characterization for l^p
[*]By a theorem of Schur, in ℓ¹ weak convergence is equivalent to strong convergence
[*]Example in ℓ^∞ of a sequence that is bounded and componentwise convergent that is not weakly convergent

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-2-18 02:25
方向 1=>2 在 math.stackexchange.com/q/1018757 中得到证明
另一个方向呢 2=>1

$1\implies 2$ 弱收敛推出逐点收敛(考虑 $\{e_n\}$). 范数一致有界用 Uniform Boundedness Principle 证明更易(假定这是泛函分析学科的练习).

$2\implies 1$ 我想该题的作者应该承认选择公理(当然也可以硬写, 比如这个回答), 因为这样可以采用一些简洁的方法. 请先回忆一些记号以及定理:

• 给定 Banach 空间 $X$ 与单位球 $B$, 记 $X^\ast$ 与 $B^\ast$ 是对偶空间及其对偶单位球, $X^{\ast\ast}$ 与 $B^{\ast\ast}$ 同理.
• $X\cong X^{\ast\ast}$ 当且仅当 $p\in ]1,\infty[$, 此时 $B^{\ast\ast}\cong B$.
• $X\cong X^{\ast\ast}$ 时, $X$ 的弱拓扑即 $X^{\ast\ast}$ 的弱-$^\ast$ 拓扑, 亦即 $X$ 的弱-$^\ast$ 拓扑.
• Banach-Alaoglu 定理(Tychonoff 定理的推论, 依赖选择公理)表明单位球在弱-$^\ast$ 拓扑意义下是紧的.

不妨设 $y=0$, 空间 $\ell^p$ 自反(即, $p\in]1,\infty[$). 对任意取定的 $T\in (\ell^p)^\ast$, 若存在子列与常数 $\varepsilon_0>0$ 使得 $|Tx_{n_k}|\geq  \varepsilon_0$, 则一致有界性与单位球的弱-$^\ast$ 紧性表明 $x_{n_k}$ 存在弱-$^\ast$-收敛的子列, 对自反空间即是弱收敛. 逐点收敛性表明 $x_{n_k}$ 只能弱收敛到 $y=0$, 与 $\varepsilon_0>0$ 矛盾.
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下给出非自反空间中 $2\implies 1$ 的反例.

若 $p=1$, 则 $\{e_n\}_{n\geq 1}\subset \ell^1$ 逐点收敛且范数一致有界. 为说明该序列不是弱收敛的, 考虑如下算子:
$$
(-1,1,-1,1,-1,\ldots)\cdot e_n=(-1)^n\not\to 0.
$$

若 $p=\infty$, 则 $\{\sum_{1\leq k\leq n}e_k\}_{n\geq 1}\subset \ell^\infty$ 逐点收敛且范数一致有界.  为说明该序列不是弱收敛的, 考虑如下算子:
$$
\operatorname{LIM}\left(\sum_{1\leq k\leq n}e_k\right)=0,\quad \operatorname{LIM}\left(\sum_{1\leq k}e_k\right)=1.
$$
此处, 线性算子 $\operatorname{LIM}$ 是 Banach 极限(可以理解为非标准整数, 超滤子, $\{0,\infty\}$-测度等等). $\operatorname{LIM}$ 可以看作 $(\text{收敛序列},\lim_{n\to\infty})$ 在 $\ell^\infty$ 上的任意一种 Hahn-Banach 延拓.