MMA 如何简便地输出极线方程？

kuing

我们知道二次曲线的极线方程是有规律的，一般就是将二次曲线的 `x^2` 变成 `x_0x`，`x` 变成 `(x_0+x)/2`，`xy` 变成 `(x_0y+y_0x)/2`。

在 MMA 里如何实现极线方程的快速输出？

比如定义一个函数 JX，只要输入 JX[某二次曲线,x0,y0] 就输出极线方程？

最近经常撸涉及极点极线的东东，每次都手工输入极线感觉略为麻烦，所以有这一问。

hbghlyj

先齐次化，Total derivative 把dx、dy、dz換成x0、y0、1，把z換成1，再除2
如，Dt[x^2]輸出2x dx，換掉dx,dy,dz变成 2x x0，再除2
如，Dt[xy]輸出x dy + y dx，換掉dx,dy,dz变成 x y0 + x0 y，再除2
又如，x齐次化变成xz，Dt[xz]輸出x dz+z dx，換掉dx,dy,dz变成 x + x0，再除2

hbghlyj

例如$x^2+y^2+y+x$
$x^2+y^2+y z+z x$

1. Dt[x^2+y^2+y z+z x]/.{Dt[x]->x0,Dt[y]->y0,Dt[z]->1,z->1}

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輸出 x+x0+2 x x0+y+y0+2 y y0
再除以2
\[x \text{ x0}+\frac{x+\text{x0}}{2}+y \text{ y0}+\frac{y+\text{y0}}{2}\]

kuing

我想到一种办法：
先用 CoefficientList 把系数都提出来，然后乘以改变后的项，再把它们加起来。

代码如下：

1. CoefficientList[
2.    a x^2 + b x y + c y^2 + d x + e y + f, {x, y}]*{{1, (y0 + y)/2,
3.     y0 y}, {(x0 + x)/2, (x0 y + y0 x)/2, 0}, {x0 x, 0, 0}};
4. Total[%, 2]

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输出：
f + a x x0 + 1/2 d (x + x0) + c y y0 + 1/2 e (y + y0) +
1/2 b (x0 y + x y0)

如何将它定义为一个函数以便使用？@hbghlyj

kuing

我还发现，`(x_0,y_0)` 关于二次曲线 `F(x,y)=0` 的极线方程可以写成
\[F(x,y)-\frac12\left(\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}(y-y_0)\right)=0.\]

代码验证：

1. F[x_, y_] = a x^2 + b x y + c y^2 + d x + e y + f;
2. F[x, y] - (D[F[x, y], x] (x - x0) + D[F[x, y], y] (y - y0))/2 // Expand

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输出：
f + (d x)/2 + (d x0)/2 + a x x0 + (e y)/2 + (b x0 y)/2 + (e y0)/2 + (b x y0)/2 + c y y0

isee

kuing 发表于 2024-3-21 22:30
我还发现，`(x_0,y_0)` 关于二次曲线 `F(x,y)=0` 的极线方程可以写成
\[F(x,y)-\frac12\left(\frac{\partia ...

搞不好这就是本质，随便猜的，勿全信

PS： mathematica 真是强，功能太多，忘得快~

kuing

hbghlyj 发表于 2024-3-21 19:11
先齐次化，Total derivative 把dx、dy、dz換成x0、y0、1，把z換成1，再除2
如，Dt[x^2]輸出2x dx，換掉dx,d ...

这种方法如果曲线方程带参数就会多出很多东西呀，得全部替换掉……

比如：

1. Dt[a x^2 + b x y + c y^2 + d x z + e y z + f z^2] /. {Dt[x] -> x0,
2.   Dt[y] -> y0, Dt[z] -> 1, z -> 1, Dt[a] -> 0, Dt[b] -> 0, Dt[c] -> 0,
3.    Dt[d] -> 0, Dt[e] -> 0, Dt[f] -> 0}

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kuing

emmmm... 2# 3# 的方法还是有个重要好处的，那就是可以保持形式，最贴合写法的规律。

上面一直都是用完全展开的式子来说的，但有些已经整理好的式子，比如说
\[(a x + b y + c)^2 + (d x + e y + f) (g x + h y + i)=0,\]
在写 `(x_0,y_0)` 的极线时并不需要展开，直接就写出是
\[(a x_0 + b y_0 + c)(a x + b y + c) + \frac12[(d x_0 + e y_0 + f) (g x + h y + i)+(d x + e y + f) (g x_0 + h y_0 + i)]=0.\]
只有用 2# 3# 的方法能达到这效果：

1. Dt[(a x + b y + c z)^2 + (d x + e y + f z) (g x + h y + i z)] /. {Dt[
2.     x] -> x0, Dt[y] -> y0, Dt[z] -> 1, z -> 1, Dt[a] -> 0, Dt[b] -> 0,
3.    Dt[c] -> 0, Dt[d] -> 0, Dt[e] -> 0, Dt[f] -> 0, Dt[g] -> 0,
4.   Dt[h] -> 0, Dt[i] -> 0}

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hbghlyj

kuing 发表于 2024-3-21 15:04
这种方法如果曲线方程带参数就会多出很多东西呀，得全部替换掉……

比如：

或者把x,y,z写成t的函数，再对t偏导：

1. D[a x[t]^2 + b x[t] y[t] + c y[t]^2 + d x[t] z[t] + e y[t] z[t] + f z[t]^2,t] /. {
2. x'[t] -> x0, y'[t] -> y0, z'[t] -> 1,
3. x[t] -> x, y[t] -> y, z[t] -> 1}

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kuing

hbghlyj 发表于 2024-3-22 00:10
或者把x,y,z写成t的函数，再对t偏导：

也行，只不过，总感觉有点儿麻烦。
还是得封装成一个函数，才能方便，可惜我不会……

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-21 11:11
先齐次化，Total derivative 把dx、dy、dz換成x0、y0、1，把z換成1，再除2

三次曲线也能这样做吗？

kuing

点评  hbghlyj  可以另存为Notebook文件🙂  发表于 2024-3-22 00:26

这和我说的封装函数有何关联？

hbghlyj

`(x_0,y_0,z_0)` 关于二次曲线 `F(x,y,z)=0` 的极线方程可以写成
\[\frac{\partial F}{\partial x}x_0+\frac{\partial F}{\partial y}y_0+\frac{\partial F}{\partial z}z_0=0\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-21 18:42
`(x_0,y_0,z_0)` 关于二次曲线 `F(x,y,z)=0` 的极线方程可以写成
\[\frac{\partial F}{\partial x}x_0+\frac{\partial F}{\partial y}y_0+\frac{\partial F}{\partial z}z_0=0\]

1. F = a x^2 + b x y + c y^2 + d x z + e y z + f z^2;
2. D[F, x] x0 + D[F, y] y0 + D[F, z] z0

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输出 $2 a x\ \text{x0}+b x\ \text{y0}+b\ \text{x0} y+2 c y\ \text{y0}+d x\ \text{z0}+d\ \text{x0} z+e y\ \text{z0}+e\ \text{y0} z+2 f z\ \text{z0}$

abababa

kuing 发表于 2024-3-22 00:17
也行，只不过，总感觉有点儿麻烦。
还是得封装成一个函数，才能方便，可惜我不会…… ...

就是在Mathematica里写好一个函数，比如函数名叫MyPolar，然后运行：
Save["D:\\mypolar.wl", MyPolar]

就能把那个函数保存到文件里了，然后用的时候Get["D:\\mypolar.wl"]，就能运行那个函数了。

abababa

kuing 发表于 2024-3-21 22:30
我还发现，`(x_0,y_0)` 关于二次曲线 `F(x,y)=0` 的极线方程可以写成
\[F(x,y)-\frac12\left(\frac{\partia ...

我还是在学Asymptote的时候，网友给提供了一个求二次曲线的极点极线的命令，然后照着那个命令，我写了一个Mathematica的：

1. MyPolar[f_, point_] := Module[{},
2. AA := Coefficient[f, x, 2];
3. BB := Coefficient[f, x*y, 1];
4. CC := Coefficient[f, y, 2];
5. g := f - (AA*x^2 + BB*x*y + CC*y^2);
6. DD := Coefficient[g, x, 1];
7. EE := Coefficient[g, y, 1];
8. FF := g - (DD*x + EE*y);
9. xx := point[[1]];
10. yy := point[[2]];
11. Return[FullSimplify[(2*AA*xx + BB*yy + DD)*x + (BB*xx + 2*CC*yy + EE)*y + (DD*xx*xx + EE*yy*yy + 2*FF)]];
12. ]

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我写的上面的这个代码，要求第一个参数必须是x,y的表达式，并且必须是二次曲线的那种，如果不是二次曲线的就不行了，用u,v的表达式也不行，我想把它弄成像求导的像D[y^2,y,2]这样的，就是可以自己指定对什么东西求导，这样的话，再定义一个参数叫args_的，然后用的时候像MyPolar[u^2+v^2-1,{u,v},{0,1}]这样的，就能解决表达式的问题了，但这个我不会。
网友提供的那两个命令如下：

1. /**
2. * 取得点 p 关于圆锥曲线 c 的极线
3. * @point p 点 p
4. * @conic c 圆锥曲线 c
5. * @return 返回点 p 关于圆锥曲线 c 的极线
6. */
7. line polar(point p, conic c) {
8.         bqe obqe = equation(c);
9.         real A = obqe.a[0], B = obqe.a[1], C = obqe.a[2], D = obqe.a[3], E = obqe.a[4], F = obqe.a[5];
10.         real x = p.x, y = p.y;
11.         return line((2*A*x+B*y+D), (B*x+2*C*y+E), (D*x+E*y+2*F));
12. }
14. /**
15. * 取得直线 l 关于圆锥曲线 c 的极点
16. * @line l 直线 l
17. * @conic c 圆锥曲线 c
18. * @return 返回直线 l 关于圆锥曲线 c 的极点
19. */
20. point pole(line l, conic c) {
21.         bqe obqe = equation(c);
22.         real A = obqe.a[0], B = obqe.a[1], C = obqe.a[2], D = obqe.a[3], E = obqe.a[4], F = obqe.a[5];
23.         real a = l.a, b = l.b, c =l.c;
24.         real m = a*(B*E-2*C*D)+b*(B*D-2*A*E)+c*(4*A*C-B*B);
25.         point p = ((a*(4*C*F-E*E)+b*(D*E-2*B*F)+c*(B*E-2*C*D))/m, (a*(D*E-2*B*F)+b*(4*A*F-D*D)+c*(B*D-2*A*E))/m);
26.         return p;
27. }

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